变换群与几何学

1、The class is begin !,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,1、仿射变换,保持l：x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换, 形如,作用于射影仿射平面(拓广平面上).,将(3.2)式化为非齐次, 去掉无穷远直线, 得仿射变换,作用于一般仿射平面上.,若(3.3)中矩阵A为正交阵, 则为正交变换, 其齐次坐标表达式称为射影正交变换.,二、群与变换群,第三章 变换群与几何学,三、平面上的几个变换群,K=平面上全体射影变换,KA=平面上全体射影仿射变换,KM=平面上全体射影正交变换,A=平面上全体仿射变换,M=平面上全体正交变换,射影平面,仿射平面,射影变换群K,射影仿射

2、变换群KA,射影正交变换群KM,仿射变换群A,正交变换群M,上述5个变换群之间显然有下列关系：,在射影平面P上,在仿射平面PA上,第三章 变换群与几何学,四、Klein变换群观点,定义3.6 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群.称S为空间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).,S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于同一等价类的图形具有相同的G性质(G给S赋予空间结构),注：显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.,

3、第三章 变换群与几何学,四、Klein变换群观点,设 为S的子集, H为G的子群, 且对任意的gH, 都有g()= , 又H为上的一个变换群, 且HH. 则称(, H)为(S,G)的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S为的绝对形.,定义3.7 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学.,S,几何学(S,G),子几何学(S,H),H,相对子几何学(, H ),例如:,第三章 变换群与几何学,四、Klein变换群观点,射影几何,射影仿射几何,射影欧氏几何,仿射几何,欧氏几何,绝对子几何关系,相对

4、子几何关系,伴随关系,绝对形： l=PPA.,变换群关系,第三章 变换群与几何学,五、几种几何学的比较,1、射影几何学,空间,射影平面P,主变换群,射影变换群K,研究内容,图形在射影变换下的不变性质和数量,同素性, 关联性,交比,其余所有射影不变性,在射影平面上做演绎推理、对偶变换,基本射影不变性,第三章 变换群与几何学,五、几种几何学的比较,2、仿射几何学,空间,射影仿射平面P,主变换群,射影仿射变换群KA,研究内容,图形在射影仿射变换下的不变性质和数量,注：通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.,射影仿射几何学,空间,仿射平面PA,主变换群,仿射变换群A,研究内容,图形在仿射变换

5、下的不变性质和数量,仿射几何学,可用对偶原则,不可用对偶原则,第三章 变换群与几何学,五、几种几何学的比较,2、仿射几何学,空间,仿射平面PA,主变换群,仿射变换群A,研究内容,图形在仿射变换下的不变性质和数量,仿射几何学,绝对形,无穷远直线,仿射几何射影几何的以射影仿射几何为伴随子几何的相对子几何学. 仿射几何首先包括射影几何的所有研究内容.,定理3.10 仿射变换保持平行性不变.,注：平行性是最基本的仿射不变性.,第三章 变换群与几何学,五、几种几何学的比较,2、仿射几何学,定义3.8 设P1, P2为通常直线上的两个相异的点, P为该直线上任一通常点. 定义,注：单比是最基本的仿射不变量

6、.,为P1, P2 , P的简单比, 或称单比. 称P1, P2为基点, P为分点.,由(P1P2P)=(P1P2, PP)立即可见,定理3.11 单比是仿射不变量.,仿射不变性,平行性,单比,平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, 梯形, 平行四边形, ,第三章 变换群与几何学,五、几种几何学的比较,3、欧氏几何学,欧氏几何仿射几何的子几何. 欧氏几何首先包括仿射几何的所有研究内容.,定理3.12 正交变换保持两点间的距离不变.,注：距离是最基本的正交不变性. 由此, 一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象.,结论：子几何学的研究内容比原几何学丰富.,4、判定一个几何性

7、质(量)是某种几何学的研究对象,检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中经过演绎推理得到(即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有关).,第四章 二次曲线理论,本章是平面射影几何的精华, 也是最精彩的部分之一,本章主要内容,二次曲线的定义,Pascal定理 Brianchon定理,配极变换,射影分类,每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用.,仿射理论,仿射分类,二次曲线上的射影对应与对合,一、二次曲线的代数定义, 4.1 二次曲线的射影定义,定义4.1 坐标满足,的所有点(x1, x2, x3)的集合称为一条二阶曲线. 其中(aij)为三阶实对称阵, 秩(aij)1.,定义4

8、.1 坐标满足,的所有直线u1, u2, u3的集合称为一条二级曲线. 其中(bij)为三阶实对称阵, 秩(bij)1.,注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型. 从代数上看, S=0, T=0为相同的代数对象；从几何上看, 是对同一几何对象的不同描述. 统称为二次曲线.,注2. 在需要时，S=0, T=0均可写为矩阵格式. 比如,一、二次曲线的代数定义, 4.1 二次曲线的射影定义,定义4.2 如果S可以(不可以)分解为两个一次因式的乘积, 则称S=0为退化(非退化)二阶曲线.,命题 S=0退化|aij|=0； T=0退化|bij|=0.,注3. 由对偶原则, 我们一般仅讨论二阶曲线

9、, 其结论均可对偶地适用于二级曲线.,对偶地，定义退化(非退化)二级曲线.,二、二次曲线的几何结构, 4.1 二次曲线的射影定义,定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线.,证明 设O(p), O(p)为平面上两个射影线束, 并取定射影坐标系.在O(p)中取定相异两直线l1: A=0, l2: B=0, 即,设两个射影线束的对应式为,设则对应直线的交点为P(x1,x2,x3), 则P的坐标满足,注 对偶地, 有定理4.1.,则O(p)可以表示为A+B=0. 同理O(p)可以表为A+B=0.,消去, , 得到交点P的坐标所满足的齐次方程为,二、二次曲

10、线的几何结构, 4.1 二次曲线的射影定义,注: 若已知两个射影线束A+BA+B的对应式,则由此构成的二阶曲线的方程为(4.2).,例1 求由两个射影线束x1x3=0, x2x3=0(+=1)生成的二阶曲线方程.,解 令,利用定理4.1的证明, 此二射影线束A+ BA+ B生成的二阶曲线的方程为(4.2)式.,由+ =1得a=0, b=c=1, d=1, 代入(4.2), 得x1x3+x2x3x32=0, 为退化二阶曲线, 退化为两直线x3=0与x1+x2x3=0.,显然, 这是关于(x1,x2,x3)的二次齐次方程, 为一个二阶曲线, 且两个束心O, O的坐标满足(4.2). 定理证毕., 4.1 二次曲线的射影定义,注：由本定理, 一旦二阶曲线由两