空间向量的坐标运算.ppt

1、1空间向量的坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3),2空间两点间的距离公式,设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB ， |AB|,(x2x1，y2y1，z2z1),3.若A、B两点的坐标分别是A(2cos，2sin，1)， B(3cos，3sin，1)，则| |的取值范围是 () A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25,解析： (3cos2cos，3sin2sin，0)， 1cos()1，| |1,5.,答案：B,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面

2、的法向量.,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有,垂直关系：,例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.,解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 设平面 的法向量是 依题意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2 平面 的一个法向量是,六、夹角：,例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;,x,y,

3、z,A,D,B,A1,D1,C1,B1,解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：,A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),X1+z1=0,X1+y1=0,取x1=1,得y1=z1=-1,C,故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:异面直线SA和OB所成的角的余弦值； OS与平面SAB所成角的正弦值；,A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；

4、,B（1，1，0）；,S（0，0，1），,则O（0，0，0）；,解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示,x,y,z,C（0，1，0）；,所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为,（2）设平面SAB的法向量,显然有,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,N,又,例二：,在长方体 中，,例2,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,5.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.,解析：如图，建立直角坐 标系，设正方体棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B (1,1,0)，C1(0,1,

5、1)， (1,0,1)， (1,1,0)， (1,0,1). 设n(x，y，z)为平面A1BD的法向量,则 取n(1，1，1)， 设直线BC1与平面A1BD所成角为， 则sin|cosn， | . cos .,答案：,【巩固练习】,1 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ .,2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为_ .,如图所示，在四棱锥PABCD 中，PC平面ABCD，PC2，在四边 形ABCD中，BC90，AB4， CD1，点M在PB上，PB4PM，P

6、B 与平面ABCD成30的角. (1)求证：CM平面PAD； (2)求证：平面PAB平面PAD.,思路点拨,课堂笔记以C为坐标原点，CB为x 轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示 的空间直角坐标系Cxyz. PC平面ABCD， PBC为PB与平面ABCD所成的角， PBC30. PC2，BC2 ，PB4.,D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)， P(0,0,2)，M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3,0)， ( ，0， )，,(1)令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则 令y2，得n( ，2,1). n 201 0， n ，又CM平面PAD， CM平面

7、PAD.,(2)取AP的中点E， 则E( ，2,1)， ( ，2,1). PBAB，BEPA. 又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，, ，BEDA，又PADAA. BE平面PAD， 又BE平面PAB， 平面PAB平面PAD.,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,1.若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所 成的角为，则cos|cosv1，v2|. 2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有 两种办法：,分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的

8、锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角.,l,m,l,m,l,l,5.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1 的中点，那么直线AM与CN所成角的 余弦值为.,解析：建立如图所示的坐标系， 则A(1,0,0)，M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， ，) 则 (0， ，1)， (1,0， ). cos . 直线AM与CN所成角的余弦值为 .,答案：,(2009全国卷)如图， 直三棱柱ABCA1B1C1中，AB AC，D、E分别为AA1、B1C的中 点，DE平面BCC1. (1)证明：ABAC； (2)设二面角ABDC为60，求B1C与平面BC

9、D所成的角的大小.,思路点拨,课堂笔记(1)证明：以A为坐标 原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1 为z轴.建立如图所示的直角坐标 系Axyz.,设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)， E( ， ，c). 于是 ( ， ，0)， (1，b,0). 由DE平面BCC1知DEBC， 0， 求得b1， 所以ABAC.,(2)设平面BCD的法向量 (x，y，z)， 则 0， 0. 又 (1,1,0)， (1,0，c)，故 令x1，则y1，z ， (1,1， ). 又平面ABD的法向量 (0,1,0).,由二面角ABDC为60知， 60， 故 cos60，求得c

10、 . 于是 (1,1， )， (1，1， )， Cos ， 60. 所以B1C与平面BCD所成的角为30.,解：由本例(2)知， (1,1， )， 又B(1,0,0)，A1(0,0， )， (1,0， ). 1 1，,又| |2，| | ， cos 异面直线B1C与BA1所成角的余弦值为 .,在本例(2)的条件下，能否求出异面直线B1C与BA1所成角的余弦值.,A. B. C. D.,练习在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 (),解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0， a)，A1(a，0，

11、a) DB(a，a,0)，DM(a,0， a)， A1M(0,0， a) 设平面MBD的法向量n(x，y，z)，则,令x1，得n(1，1，2)， A1到平面MBD的距离,答案： A,利用向量法求点面距，其步骤如下： 1求出该平面的一个法向量； 2找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量； 3求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除 以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图,点P到平面的距离,(2009茂名模拟)如图所示，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2，ABAD (1)求证：AO平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值； (3)求点E

12、到平面ACD的距离,思路点拨,课堂笔记(1)证明：连结OC， BODO，ABAD，AOBD. BODO，BCCD，COBD. 在AOC中，由已知可得AO1，CO 而AC2，AO2CO2AC2. AOC90，即AOOC. BDOCO，AO平面BCD.,(2)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1)，E( ， ，0)，,异面直线AB与CD所成角的 余弦值为,=(-1，0，1),(3)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则,令y1，得n( ，1， )是平面ACD的一个法向量 又EC( ，0)， 点E到平面ACD的距离h,利用空间

13、向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型,考题印证 (2009福建高考)如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，MD平 面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点 (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由,【解】(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz. 依题意

14、，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)(2分),所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 (6分),=(-1,0,1) (3分),(5分),(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN. AN(0,1,1)，可设ASAN(0，)， 又EA( ，1,0)， ，1，)(8分),由ES平面AMN，得 即 (9分) 故 ，此时AS(0， )，|AS| (10分) 经检验，当AS 时，ES平面AMN.(11分) 故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS (12分),自主体验 如图，已知四棱锥PABC

15、D的底面ABCD为等腰梯形，ABDC，ACBD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点 又BO2，PO ，PBPD.,(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值； (2)求二面角PABC的大小； (3)设点M在棱PC上，且 ，问为何值时，PC平面BMD?,解：PO平面ABCD，POBD. 又PBPD，BO2，PO ， 则在RtPDB中，由OP2ODOB，得OD1，从而可得ODOC1，BOAO2. 以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(1，0,0)，D(0，1,0)，P(0,0， ),故直线PD与BC所成角的余弦值为,(2