习题课 第四章.ppt

1、1,第四章 弯曲应力,一.内力图作法： 1、剪力方程、弯矩方程； 2、简易法； 3、叠加法。* 向上的外力引起正弯矩。,二、平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性轴、合理截面等的概念,2,例题1 作图示梁剪力图、弯矩图，M3qa2，且求出Fsmax，Mmax。,求支反力一定要校核。 法一：列剪力方程、弯矩方程。 求控制截面的内力值。 法二：简易法。,3,第四章 弯曲应力,4,综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。,(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力

2、对该截面形心的力矩之代数和。 1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。,第四章 弯曲应力,5,2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。,第四章 弯曲应力,6,常见荷载下FS，M图的一些特征,第四章 弯曲应力,7,集中力作用处,集中力偶作用处,若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。,第四章 弯曲应力,8,利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯

3、矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。,第四章 弯曲应力,9,例题 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,x,10,而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为,1. 校核剪力图,解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为,第四章 弯曲应力,该梁的AC段内无

4、荷载，,11,对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。,第四章 弯曲应力,根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为,12,对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是,第四章 弯曲应力,13,2. 校核弯矩图,这与图中所示相符。,该梁的AC段内，剪力为

5、常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为,第四章 弯曲应力,14,事实上，这个弯矩值也可根据,此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。,第四章 弯曲应力,通过积分来复核：,15,对于该梁的CD段，根据 可知：,弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；,第四章 弯曲应力,16,由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。,第四章 弯曲应力,

6、17,在剪力为零的跨中截面E处， 弯矩图切线的斜率为零，而弯矩 有极限值，其值为,同样，根据 可知，,这些均与图(c)中所示相符。,第四章 弯曲应力,18,对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。,第四章 弯曲应力,19,已知：图中梁的约束力为,思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。,正确答案：,第四章 弯曲应力,(a),20,图中梁的约束力为,正确答案：,第四章 弯曲应力,(b),21,图中梁的约束力为,正确答案：,第四章

7、弯曲应力,(c),22,. 按叠加原理作弯矩图,第四章 弯曲应力,23,例 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载作用的悬臂梁。,第四章 弯曲应力,24,第四章 弯曲应力,25,第四章 弯曲应力,26,作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理作弯矩图。,由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值)，而极值弯矩 并非最大弯矩。,第四章 弯曲应力,27,横截面的中性轴就是对称轴。 矩形，圆形，工字型,三、梁的正应力强度条件,塑性材料(拉压强度相等)：cmax=tmax,2

8、8,弯矩图： 危险截面,计算比较：,横截面的中性轴不是对称轴。T形，槽形,塑性材料,脆性材料 常做成T形结构,29,可见：,1. t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):,第四章 弯曲应力,横截面上任一点处的切应力计算公式,30,二、工字形截面梁上的切应力,腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：,式中：d为腹板厚度,三、薄壁环形截面梁上的切应力,假设 ：1、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切,式中：A为圆环截面面积,四、圆截面梁上的切应力,式中：A为圆截面面积,max在中性轴上。（按基本公式计算）,31,例题4-15 图

9、a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。,第四章 弯曲应力,32,解：在不考虑梁的自重( )的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为,第四章 弯曲应力,33,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,于是有,危险截面上点a 处的正应力为,第四章 弯曲应力,34,该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：,第四章 弯曲应力,35,显然，梁的自重

10、引起的最大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,第四章 弯曲应力,36, .梁的正应力强度条件,等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：,式中，s为材料的许用弯曲正应力。,第四章 弯曲

11、应力,37,对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作,由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc 。,第四章 弯曲应力,38,(a),(b),例题4-17 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力s=152 MPa 。试选择工字钢的号码。,第四章 弯曲应力,39,解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示,第四章 弯曲应力,40,强度条件 要求：,此值虽略小于

12、要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。,由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为,第四章 弯曲应力,41,此时危险截面上的最大工作应力为,其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。,如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为,第四章 弯曲应力,42,例题4-19 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力st=30 MPa，许用压应力sc=90 MPa 。试求梁的许可荷载F。,第四章 弯曲应力,43,解：最大负弯矩

13、所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。,第四章 弯曲应力,44,最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到st，则上边缘处的最大压应力sc,max为 ，它远小于sc故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。,第四章 弯曲应力,45,由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：,显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。,B截面：,C

14、截面：,第四章 弯曲应力,46,当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。,于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：,由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。,第四章 弯曲应力,47,例题 某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。,第四章 弯曲应力,48,解：图a所示胶合方式下，由图可知：,第四章 弯曲应力,49,图b所示胶合方式下，由图可知：,第四章 弯曲应力,50,例题4-20 对于

15、由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力t a 。梁的自重不计。,第四章 弯曲应力,51,图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端截面A，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。,(d),第四章 弯曲应力,解：由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，且根据型钢表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求tmax公式所 。,52,第四章 弯曲应力,(d),53,其中：,于是有：,54,腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。,第四章 弯曲应力,

16、tmax,55,. 梁的切应力强度条件,图a所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件,第四章 弯曲应力,56,该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为,亦即,式中，t 为材料在横力弯曲时的许用切应

17、力。,第四章 弯曲应力,57,梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。,第四章 弯曲应力,58,图a所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态(state of plane stress)。,第四章 弯曲应力,59,需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a,b,c)(或分别接近各自的最大值) 则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大 (图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。,第四章

18、弯曲应力,60,但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第七章中例题7-7。,61,此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。,第四章 弯曲应力,62,例题4-22 一简易吊车的示意图如图a所示，起重量P=30 kN，跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力s=170 MPa，许用切应力t=100 MPa。试校核梁的强度。,第四章 弯曲应力,P,63,解：吊车梁可简化为简支梁(图b)。,第四章 弯曲应力,(c),校核正应力强度 荷载移至跨中处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，,64,由型钢规格表查得20a号工字钢的弯曲截面系数为 。荷载在对应于弯矩的最不利荷载位置时的最大弯曲正应力为,其值小于许用弯曲正应力s=170 MPa。,第四章 弯曲应力,(c),65,如果把吊车梁的自重 考虑在内，则,