求极限的方法总结

1、 学号： 0 学年论文求极限的方法总结Method of Limit学院 理学院 专业 班级 学生 指导教师（职称） 完成时间 年 月 日至 年 月 日摘 要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。关键词：极限 洛必达法则 泰勒展开式 定积分 无穷小量 微分中值定理 AbstractThe

2、concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic concepts.Many important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the limit.So mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined

3、by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used method.In this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference.Keyword:

4、Limit Hospitals Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem 引言 极限时分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如：3世纪中国数学家刘微的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限时圆周长这一个思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起了不少争论甚至怀疑。知道19世纪，由A.L.柯西、K.（T.W.）外尔斯

5、特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念得表述都可以用极限来描述。如函数y=f（x）在处倒数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义等都是用极限来定义的。极限时研究数学分析的基本工具。极限时贯穿数学分析的一条主线。学好极限要学会归纳和掌握求极限的方法。本文主要是对求极限的方法进行了归纳和总结。第一章1、1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限四则元素法则的条件是充分而非必要的，因此，用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一验证它是否满足极限四则运算的法则条件，如果满足条件，才能利用极限的四则

6、运算法则进行计算；不满足条件的就不能直接利用极限四则运算法则求解。但是，并非所有不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件候再利用四则运算法则求解，而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧比如拆项，分子分母乘以某一因子，变量代换，分子分母有理化等等方法即可进行恒等变换，以便于我们计算。极限的四则运算法则叙述如下：定理1. 1：如果（1）（2）（3）若B0 则：（4）（5）（n为自然数）上述性质对于也同样成立参考文献1华东师范大学数学系，数学分析(第三版)上册M高等教育出版 2001.6由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数

7、极限的和、差、积、商。例1. 求的极限 解：由定理1.1中的第三式可以知道 以后遇到类似题目，可以分别求子分母的极限，得到的分式就是结果例2. 求的极限解：分子分母同时乘以 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知，求解： 观察 因此得到 所以 1、2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点的导数记为。即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示称f(x)在定点的导数。例4. 求的极限解： 1、3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式：（1），（2） 但我们经常使用

8、的是它们的变形：（1） ，（2）求极限。（3）其中x都可以看作整体来看待。其中第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“”型，在型中满足“外大内小，内外互倒”。在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限标准型或者是它们的变形式，这就要求要抓住它们的特征，并且能够根据它们的特征辨认它们的变形。若用到第一个重要极限来求极限时，往往要利用三角形公式对变量进行变形，设法化成标准型，所以，要熟练地掌握三角函数的相关公式（如倍角、半角公式、两角和（差）公式、和差化积、积化和差公式等）、如果是用到第二个重要极限求极限时，有时要对自变量作适当的代换，使所求的极限变成这一形式。 例5. 求

9、的极限解：这是型不定式上式= = = =例6：解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。= =例7：解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以 = =1、4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果是初等函数,且是的定义区间内的点, 则。例8： 解 :因为复合函数是初等函数,而是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此 例9：求解： 复合函数在处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有 = =01、5 利用两个准则求极限。1、5、1 函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N,当nN时

10、，有且则有 。2张锐 考试周刊 2011.05 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。 例10 ： 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为1、5、2 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。定理单调上升( 或单调下降) 有上界( 或有下界) 的数列必有极限。利用这一定理来求极限时, 首先要研究数列的单调性和有界性, 即证明的存在性, 方法可用数学归纳法或不等式的放缩法; 再令, 然后解关于A的方程, 求得A的值, 从

11、而得出。3高玉芳 求极限的方法与技巧 青海师专学报 2000年3期4常敏慧 无穷小量在微积分中的作用 山西大同大学学报 2008.025张锐 函数极限求解方法归纳 考试周刊 2011.056李耀文 闻杰 关于数列的极限的柯西准则 中国科教创新导刊 2009年05期例11：证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为 则, 从而 即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则有 所以. 又因为 解方程得 所以 例12：设。试证数列的极限存在, 并求此极限。解: 由及知。设对某个

12、正整数k有， 则有从而由数学归纳法可知, 对一切自然数, 都有，即数列单调下降, 由已知易见即有下界,根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。令对两边取极限，有所以有解得A=3,或。因为，所以，舍去,故1、6 利用罗必达法则求未定式的极限定义4.1：若当（或）时，函数和都趋于零(或无穷大)，则极限可能存在、也可能不存在，通常称为型和型未定式。 例如： , (型); , (型).定理4.1：设 （1）当时, 函数和都趋于零; （2）在a点的某去心邻域内,和都存在且; （3） 存在(或无穷大),则定义4.2：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.

13、罗必达法则只直接适用于，型未定式, 型未定式通过恒等变形可化多或型。而, ,型未定式则通过取对数化多或型。因此, 在使用罗必达法则时每步都要检查是否符合法则的条件。此外, 还应注意及时化简算式, 把定式部分分离出来并求出极限, 再对未定式部分使用法则。还应注意的是：应对分子分母分别求导，而不是对整个分式求导。洛必达法则是计算不定式极限的重要方法,这种方法用起来简单有力。需注意的是,要看将代入式中时,原式是否为不定式,如果不是,就不能使用此法则;在重复使用此法则时, 必须每步都作检查,一旦发现不是不定式,就要停止使用。例13：解： 本例属未定型, 因为 ,所以是未定型, 应用洛必达法则, 得：

14、例14：解：例15： 解： 1、7 用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项, 使运算十分简便。例16：解：因为所以 例17：解：因为当时，所以 从而于是注意：如果该题利用其他方法就不太好做了。1、8 利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义

15、去求 。利用定积分可求如下二种形式的极限:A: 型定理7.1：设在0，1上可积，则有 例18：求极限 解：令，在0,1上可积。 B: 型定理7.2：若在0,1上可积，则例19：求解：令,则有： 1、9 利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积, 仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。 例20：解：当时分母的极限为0，而分子的极限不为0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量： = = 0利用无穷小量的倒数是无穷大量 故 = 例21：极限解： 因为 ；当时，为无穷小量，为有界量，故；所以原式=0。例22：求极限解：因为所以是有界函数故

16、在时是无穷小量。利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。所以.1、10 利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量()等价无穷小有重要性质:设且存在，则=,这个性质表明,求两个无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量代替,从而使计算大大简化 。 例23：极限解：当时，, 例21：求极限解： =错误的解法是： (错在对加减中的某一项进行了等价无穷小代换)1、11 利用级数收敛的必要条件求

17、极限给出一数列 ,对应一个级数若能判定此级数收敛, 则必有。由于判别级数收敛的方法较多, 因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便。例24：求极限解： 设级数 其中 由达朗贝尔判别法知级数收敛,再由级数收敛的必要条件可知： 例25：求极限解：设级数为项级数。由比值审敛法： = = =所以收敛，故 =0 1、12 利用极限定义验证极限 用极限定义验证极限，是极限问题的一个难点。做这类题目的关键是对任意给定的正数，如何找出定义中所说的N或确实存在。这实际上是利用逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力。 例26：证明证：由于对于要使只要使，即,取,则当时，就有成立，即例27 ：证：任给要

18、找,使时，有即，显然，当较大时，如，有 = ,因此要使成立，当n=2时，只要即或。这样一来，取,则当nN时，则有及 ,因此上述各式成立。证毕。1、13 涉及单侧极限与双侧极限的问题例28：求函数在处的左右极限，并说明在处是否有极限。解：， ，因为 ，所以f(x)在x=-1处的极限不存在。利用该方法就极限时，只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的注：本例是的直接应用。1、14 利用微分中值定理和积分中值定理求极限例29：解：因为由微分中值定理（介于与之间）原式= =1、15 利用柯西准则来求数列极限。柯西准则：要使有极限的充要条件使任给,存在自然数N，使得当nN时，对于 任意的自然数m有例30：没有极限。证明：对任意的n，取m=n,我们有 =因此，对于，对任意的N，当nN时，取m=n就有 即变量没有极限。1、16 求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例3:1求 解：令 则在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。结束语极限运算是高等数学的基本运算。许多重要的概念如连续、导数、定积分等等都是由极限定义的。由于极限定义的高度抽象,