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1、泛函分析作业(二)BY0807112 吴耀第一题试举出一个无穷维Hilbert空间,并指出它的一个正规正交基解答:考虑,定义内积:,首先验证满足内积的四条假设.1) ,且;2) 显然成立;3) ,;4)所以是按照如上内积定义的内积空间。下面说明该内积空间是完备的。由定义有:,可见由内积诱导的范数恰好是在以前定义的范数:,以前已经证明这一个完备的赋范线性空间,所以,该内积空间是完备的。总之,是一个无穷维Hilbert空间。下面指出这个无穷维Hilbert空间的一个正规正交基。下证是的一个正规正交基。显然有:,使得,则有=0,。故是的一个正规正交基。第二题X是内积空间,,则:.证明:首先根据定义,
2、证明如下等式: 则有:证毕。第三题举两个无穷维Banach空间上连续线性泛函的例子解答:举例一:考虑无穷维Banach空间C0,1上的点赋值泛函f.先说明其是线性泛函。所以是线性的。再说明其是连续泛函。是有界的,根据定理1,是连续的。举例二:考虑无穷维Banach空间L2a,b上的泛函f.先说明其是线性泛函。所以是线性的。再说明其是连续泛函。是有界的,根据定理1,是连续的。第四题举一个无穷维赋范线性空间上有界线性算子的例子。解答:考虑空间中定义线性算子T如下:,则T是有界的。所以故T是有界线性算子。事实上,不妨设即第五题设H 是具有的Hilbert空间,是双射,在H中定义,证明:是H上的内积H按也是Hilbert空间H按的内积范数与按内积范数等价证明:只需证明满足内积定义的四条假设即可。,显然1) ,因为是双射,故;2) 得证 3) ,4)证毕。H按也是Hilbert空间。只需要证明H按照是完备的就可以了。设是H中按定义的Cauchy列,即有:即是双射,所以A是有界可逆的,有按定义也是Cauchy列,而H 是具有的Hilbert空间,也就是完备的,所以,按收敛到,下面可以证明,按收敛到。只需证明可取那么只需取
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