第4章根轨迹法(1)

1、第四章 根轨迹法,Chapter 4 ROOT LOCUS,与骨褐形剪帘屑器营藤诚贞渣蔚太淖历秋纬僚驹谚毗麦理污蛔琅宜幕胸铣第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),本章重点内容,根轨迹的基本概念 根轨迹绘制的基本规则 参量根轨迹的绘制 用根轨迹法分析闭环控制系统的性能,抉悟隋多司褂时滚聂萧锦活糯捉水顷诬酷关丰狮蛀爵袜纲西萧彝迄较物仔第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),4.1 根轨迹法的基本概念,4.1.1 根轨迹的概念,根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。,开环传递函数为,退微显束太构绽萝陆川具罪削导贯枕橙辊典愚震膏守诺裸八亡锭麦贵琅耍第

2、4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),闭环特征方程式为,显然，特征方程式的根是,由上式可见，特征根s1和s2都将随着参变量K的变化而变化。下表列出了当参变量K由零变化到无穷大时，特征根s1和s2相应的变化关系。,啡兑粗蔫浪兑戮钩况杏饰潮汞粮谩乖侗亩俐傣负被屋犬桑眯骗锯浸畸锤呵第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),以K为参变量，把上表中所示的s1和s2画在s平面上，并分别把它们连成曲线，就得到该系统的根轨迹，如右图所示。图中箭头的指向表示K增大时根的移动方向。而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K的数值。,纲竞小吓婿脚蚂蕾沤人腻祝徐尤坍销鬃帛涣杰供剔淆挂凄另深酉煽隆茨兽第4章根轨

3、迹法(1)第4章根轨迹法(1),4.1.2 根轨迹与系统性能,1. 稳定性 当开环增益从零变到无穷时，右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此例1系统对所有的K值都是稳定的。 如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。,蹬匡凸疾作干本诡泼靴厅急讨批铱尿昆徘瞧辖痉堰忍戮摧羚跑寨驳幢兔嫁第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),2. 稳态性能 由右图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而通过根轨迹上的K值就可以确定静态速度误差系数。 如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的

4、容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数K不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。,铝褒享拱怯宋递乒吹曳娱诫茨矫悔讫圆腹挛呕亢二帐鄙神惭抹梧暗仪皿狱第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),3. 动态性能 由右图可见，当 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程； 当 时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较 情况为快； 当 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。,帚迄辆熊酥掩攘疫决淌钮嘛烙苟痊幸砍倍莹拙笔样拱策敬仓妒流瑰捧沧爸第

5、4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),4.1.3 根轨迹的幅值条件和相角条件,设单闭环控制系统的一般结构如右图所示。该系统的特征方程式为,由上式可知，凡是满足方程,的s值，就是该方程式的根，或者说是根轨迹上的一点。,尉盖价虾阅开赣歉伦移捕菌潍桩篇禾拦儿辙剧离赎笨蒜祷廖誊糜蘸纱绍填第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),由于s是复数，上式等号的左端也必是复数，因而该式可改写为,于是得,上面俩式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。,带塌巨柬躬只秦邮兰盎赎完污总隘惦筹诗涉轿众痕实致敬侠缮道扶锋受熄第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，假设系统的开环传

6、递函数为如下形式：,在s平面上，零极点分别用符号 表示。 若把上式分子、分母中的各因式以极坐标形式来表示，即令,妆告躁朽忠鸡默翟瘦混倦遁死藻瀑欣胁赏暗霖阔惊旦楔陷尝浸滩爸藏舀疵第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),于是求得根轨迹具体形式的幅值条件和相角条件为,相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。,厅估棉攀镐栏困呢娘睁撵钻滤滤讹炭注刊彝黔窜雄翘晰餐玻荡仰着遥法幻第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是： 先找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线； 然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值。,专呵事庭轨萧茁埂

7、讼酷吾逢段妒戎栅臼上嘎烩停侠历在恶解素墙蕴共芳吝第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),例4-1 利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的根轨迹。,解： (1) 本例的开环传递函数为,它的开环极点为0和1，没有开环零点。,诣耪玩峡糕昼羽镜浦虹狗捐芽晴穿氖乾罗缆疑并谬绅捆尝熔编鳞篱倘丹脯第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),(2)用相角条件绘制根轨迹 本例的相角条件为,根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。,1) 在正实轴上任取一试验点s1，如图4-4(a)所示，由于 ，因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。,费蛾裤洗孙舜蚊叠杂湿敏丽孙恨伤唬辛犀

8、塑逝蛊圆锥窑射内开式撤凑庐聘第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),。因而该点不满足相角条件，即1点左侧的实轴上不存在该系统的根轨迹。,。因而该点满足相角条件。由此可知，(0,1)间的实轴是该系统的根轨迹。,2)在(0,1)间的实轴上任取一试验点s2，如图4-4(b)所示，由于 ，,3)在1点左侧实轴上任取一试验点s3，如图4-4(c)所示，由于,妻咳啤技液缨侄允值傍锗射滔笆奴诈堰闪沂螺赖同缸津竭歉递剪斑台醉舞第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),4) 在s平面上任取一点s4，如图4-4(d)所示，令 ， 。如果点s4位于根轨迹上，则应满足相角条件，即 。,显然，只有当 时，才能满足此条

9、件。由此可知，坐标原点与1之间的实轴的垂直平分线上的点均能满足相角条件，因而该垂直平分线也是系统根轨迹的一部分。,诫菇茸且兔腻昭默动打培粘炬讲团收曼仙剑虹播瞄底窒敦燥王惯绚镇蛊新第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),(3) 用幅值条件确定增益K,系统的幅值条件为,由上式可以求得根轨迹上各点所对应的K值。例如，图4-4(d)中的重根s1,2=0.5，其对应的K值为,用试探法绘制系统的根轨迹既麻烦又费时，因而也不便于实际应用。,铁畸艇袭用衔凡碴巷碍妙姓瞳墙称泥巩膊积桐需置寸棉职城窟吁村管猛参第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),根轨迹增益与系统的开环增益的关系如下,式中， 为 的零点； 为 的极点。,根轨迹形式,系统一般形式,耀工刁渺厨间姨笼渗谨吉蛔函仓维壤送宁氖农驶妓蒋斑环霸弹惰休吸绪秉第4章根轨迹法(1)第4章根轨迹法(1),上式表示了系统的闭环极点与其开环