勾股定理中的方程思想

1、勾股定理中的方程思想,八年级一部数学组,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,勾股定理,在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？,例1,在ABC中， C=90, (1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长. (2)如果AC=5, AB=BC+1,求AB、BC的长.,解：（1）设AB=5x, 则AC=3x(x0),由勾股定理得162+(3x)2=(5x)2,解得： x2=16,x0 x=4,AB=20,AC=12.,16,5x,3x,(2) 设BC= x, 则AB=x+1 (x0),由勾股

2、定理得x2+ 52=( x+1)2,解得： x=12,BC=12, AB=13.,x,x+1,例1,在ABC中，C=Rt, (1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长. (2)如果AC=5, AB=BC+1,求AB、BC的长.,在直角三角形中（已知两边的数量关系）,设其中一边为x,利用勾股定理列方程,解方程,求各边长,基本过程,、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？,5米,(X+1)米,x米,解设AC的长为 X 米，,则AB=(x+1)米,反馈,2、有一个边长为1丈的正方形水池，在池的

3、正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？,解:设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，,由题意，得x2+52=(x+1)2,有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？,解得： x=12,答：水深12尺，芦苇长13尺。,5,x,1,x+1,AB的中垂线DE交BC于点D,AD=BD,BC=3,BD+CD,AD+CD,=,=,3,3、如图，在RtABC中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的

4、长.,x,3-x,如图，在RtABC中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的长.,解：AB的中垂线DE交BC于点D,AD=BD,BC=3,BD+CD= AD+CD=3,AD=,设AD=x,则CD=3- x，,由勾股定理得：x2= (3-x)2+12,解得: x=,x,3-x,4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.,x,x,8-x,6,6,4,6、如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？,例2.已知矩形

5、ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.,如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？,例2,解：,设AE= x km，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：E站应建在离A站10km处。,

6、x,25-x,1、小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？,x,50-x,反馈,2、在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？,A,B,C,D,A,B,C,D,解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m.,设AD长为x m，则树高为(x+5)m.,AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x.,在RtABC中，根据勾股定理得,解得x=2.5,答：树高为7.5米。, x+5=2.5+5=7.5,10 2+ (5 + x )2= (15 x)2,已知：如图，ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，求ABC的面积.,如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？,例3,小结,应注意：没有图的要按题意画好图并标上字母.,归纳小结,在直角三角形中，利用勾