第五章状态反馈.ppt

1、2009-08,CAUC-空中交通管理学院,1,第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计,系统分析及控制,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,2,第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计,闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。 而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。 采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。 然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状

2、态的问题，即状态观测器的设计。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,3,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,一、状态反馈,1、状态反馈的概念 状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。,设SISO系统的状态空间表达式为：,状态反馈矩阵为k，则状态反馈系统动态方程为：,式中：,k为1xn矩阵，即,，称为状态反馈增益矩阵。,称为闭环系统矩阵。闭环特征多项式为,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,4,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征

3、值， b、c 阵均无变化。,【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。,解：,其中,称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,5,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,说 明：如果系统为r维输入、m维输出的MIMO系统，则反馈增益矩阵k是一个rxm维矩阵。即,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,6,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,2、状态反馈增益矩阵k的计算,控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点 在平面上的位置。因此，对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。 所谓极点配置问

4、题就是通过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点恰好处于 s 平面上所期望的位置，以便获得期望的动态特性。 本节只讨论SISO系统的极点配置问题，因为SISO系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,7,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,定理5.1: 用状态反馈任意配置极点的充要条件是：受控系统可控。 证 明：（1）充分性： 设受控系统可控，则一定可通过线性变换（即 ），,将A、b化为可控标准型。,在变换后引入状态反馈增益矩阵,故变换后的状态反馈系统的动态方程为,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,8,5-1 状态反馈与闭环系统

5、极点的配置,其中：,闭环特征多项式为,设闭环系统的期望极点为,，则系统的期望特征多项式为,欲使闭环系统的极点取期望值，只需令,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,9,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,即,只要适当选择,，就可以任意配置闭环极点。,（2）必要性 若受控系统不可控，必有状态变量与u无关，则,中一定有元素不存在，所以不可控子系统的特征值不可能重新配置。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,10,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵k的一般步骤如下：,（1）对给定可控系统,，进行P变换，即,，化成可控标准型,其中：,（2）导出在可

6、控标准型下的闭环系统的特征多项式,（3）根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式,（4）确定对于可控标准型下的状态变量,的反馈增益矩阵,（5）把,化成对于给定状态变量x对应的k,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,11,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,【例5.1.2】已知SISO系统的传递函数为,试设计状态反馈增益矩阵k使闭环极点配置在-2，,解：由于SISO系统的G(s)无零极点对消，故系统可控。可直接写出可控标准型。,设状态反馈增益矩阵k为：,状态反馈系统的特征方程为,期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,12,

7、5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,令,，可得,故,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,13,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,分析说明： 在例5.1.2中，由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型，从而可以比较简单地计算出反馈增益矩阵k，对闭环系统进行极点配置。 但是从工程实际上看，可控标准型实现的状态变量的信息在物理上是很难采集的，如果要使设计出来的k能在实际系统中方便地建立起来，应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为系统的实现。 比如例5.1.2中，选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较为合理。即,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,14,

8、5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,原受控系统的动态方程为：,设状态反馈增益矩阵k为：,状态反馈系统的特征方程为,期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：,令,，可得,故,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,15,结 论： 求解实际问题的状态反馈增益矩阵时，没有必要象定理5.1证明那样去进行可控标准型的变换，只要先验证受控系统可控，并计算及f()=|I-(A-bk)| 期望特征多项式f*()，由f() = f*()，便可确定状态反馈增益矩阵 k=k0 k1 kn-1。,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,16,5-1 状态反馈与闭环系统

9、极点的配置,【例5.1.3】已知SISO系统的传递函数为,试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2，,解：该SISO系统的传递函数G(s)存在零极点对消。,（1）若选择可控标准型实现（便不可观测），仍可以配置极点，方法步骤同【例5.1.2】。 （2）若选择可观测标准型实现（便不可控）,设状态反馈增益矩阵k为：,状态反馈系统的闭环状态矩阵为,的可能性。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,17,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,状态反馈系统的特征方程为,状态反馈系统的闭环状态矩阵为,期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：,令,，可得,方程组无解，即这种情况下用状态反馈不能配置极点。

10、,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,18,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,二、闭环系统期望极点的选取 总的来说，系统的性能主要取决于闭环主导极点，而远极点只有微小的影响。也就是说，把系统看作是一个其极点就是主导极点对的二阶系统。 可根据动态指标 和 来确定期望主导极点的位置：,【例5.1.4】试设计如图所示系统的状态反馈增益矩阵k ，使闭环系统满足下列动态指标：,（1）输出超调量,（2）调节时间,秒,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,19,5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置,解：确定闭环系统的期望主导极点,，由,解出,，则,令第三个极点,故,由,，有,故,2009-

11、08,CAUC-空中交通管理学院,20,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,定理5.2: 若线性定常系统(A,b,c)是可控的，则状态反馈所构成的闭环系统k(A-bk,b,c)也一定是可控的。,说明：当任意配置的极点与零点存在对消时，状态反馈系统的可观测性将会改变，从而不能保持原受控系统的可观测性。如果原受控系统不含闭环零点，则状态反馈系统能保持原有的可观测性。,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,定理5.3: 状态反馈可能影响系统的可观测性。,定理5.4: 引入状态反馈前后，系统零点不发生改变。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,21,5-2 状态反馈对可控性与可观测性

12、的影响,【例5.2.1】若原系统的传递函数为：,试求使状态反馈闭环系统的传递函数为,的状态反馈增益矩阵k。,解：比较,和,可知，,中应含有,的零点，故,应为,设,原系统无零极点对消，系统完全可控，写出其可控标准型,，期望闭环极点为：-2，-2，-3。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,22,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,由,，有,故,【例5.2.2】给定开环系统的传递函数为：,要求用状态反馈将闭环极点配置到,，试计算状态反馈增益矩阵k,并说明所得到的闭环系统是否可观测。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,23,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,解：原系统

13、无零极点对消，故完全可控，可控标准型为,设,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,24,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,由,，有,故,状态反馈不改变系统零点，不改变系统可控性。然而反馈后系统在s = - 1处出现零极点对消，所以闭环系统必不可观测。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,25,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,【例5.2.3】系统状态方程如下,试判定系统是否可用状态反馈 u = v-kx 分别配置以下两组闭环极点-2,-2,-1和 -2,-2,-3 ，若能配置，若能配置k。,解：,系统不可控，所以不能实现极点的任意配置。 考虑原系统的特征值,200

14、9-08,CAUC-空中交通管理学院,26,5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响,有一个特征值本来就在=-1 处，而且由状态方程可以看出，正是该特征值对应的状态不可控，所以可利用系统的可控子系统将另两个极点配置到-2, -2，实现第一组闭环特征值的配置。,设,，其中,由,，有,故,时，可将闭环极点配置到,系统用状态反馈不能实现第二组闭环极点的配置 。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,27,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,一、渐近稳定 渐近稳定：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。,所谓镇定问题是指受控系统0(A,B,C

15、)通过状态反馈使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。 显然，镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,28,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,二、状态可镇定定义 定义5.1（状态可镇定定义）： 对于线性定常系统0(A,B,C) ，如果存在状态反馈增益矩阵k，使得闭环系统k(A-Bk,B,C)是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。,结 论： 如果0(A,B,C)完全可控，则它必然是可镇定的。但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。,定理5.5： 线性定常系统是状态可镇定的充要条件

16、是：其不可控子系统是渐近稳定的。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,29,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,【例5.3.1】已知系统状态方程为,试判别其是否为可镇定的。若是可镇定的，试求一状态反馈增益矩阵k使闭环系统为渐近稳定的。,解： （1）判别系统可控性 故系统不完全可控。,（2）将系统按可控性进行规范分解。,故而,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,30,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,变换后系统的动态方程为：,式中：,可控子系统动态方程,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,31,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,不可控子系统动态方程：,可见，由,

17、可得到,故不可控子系统是稳定的，所以该系统是可镇定的。,（3）对可控子系统作状态反馈，使系统成为稳定的。设对于变量,的反馈系数矩阵,为,则可控子系统的闭环特征多项式为,其中：,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,32,5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题,欲使系统稳定，根据劳斯稳定判据：,为保证系统稳定，应有,取,取,即,（4）对于系统原状态x下的状态反馈系数矩阵k为,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,33,5-4 输出反馈与极点配置,5-4 输出反馈与极点配置,经典控制理论中所讨论的反馈都是输出反馈，输出反馈有两种形式： （1）将输出量反馈至状态微分处 （2）将输出量反馈至

18、参考输入处,一、输出反馈至状态微分,MISO系统输出反馈至状态微分处系统结构图,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,34,5-4 输出反馈与极点配置,1、MISO系统动态方程,输出反馈系统动态方程为：,即,其中：,h为(nx1)输出反馈系数矩阵。,定理5.6: 用输出至状态微分处的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可观测。,注 意： 输出至状态微分处的反馈系统保持原系统的可观测性和零点，却不一定能保持原系统的可控性。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,35,5-4 输出反馈与极点配置,2、输出至状态微分处的输出反馈增益矩阵的设计 根据期望闭环极点设计的方法是：将期望特

19、征多项式与该输出反馈系统的特征多项式|I-(A-hc)|相比较即可。,【例5.4.1】已知系统传递函数为,试设计输出至状态微分的反馈增益阵h ，使闭环系统的极点为,解：SISO系统不存在零极点对消，故系统可观测。可观测标准型为：,令,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,36,5-4 输出反馈与极点配置,令,，有,故,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,37,5-4 输出反馈与极点配置,二、输出至参考输入的反馈,即,结 论： 输出至参考输入的反馈不会改变受控系统的可控性和可观测性。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,38,5-5 状态观测器的设计,5-5 状态观测器的设

20、计,状态观测器又称状态估计器、状态重构器。本节只讨论系统在无噪声干扰条件下的状态观测器设计问题。 当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。 但在许多情况下，通常只有被控对象的输入量和输出量可以用传感器测量，而多数状态变量不易测得或不可能测得，于是提出了利用输入量和输出量建立状态观测器而重构状态的问题。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,39,5-5.1 全维状态观测器,一、全维状态观测器 1. 状态重构问题 设线性定常系统的状态空间表达式为,将y对t逐次求导：,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,40,1）若系统完全能观测，则V0可逆，x才有唯一解

21、。 2）状态向量x可以由y、u及它们的各阶时间导数组合构造而成。 3）但不够合理。主要是微分作用放大了噪声。造成误差大。 实现状态重构的一种现实可行的方法是，设计一个观测器系统，这个系统的输入是原系统的输入和输出，它的输出就是原系统的一个状态渐近估计，如图54所示。,5-5.1 全维状态观测器,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,41, 5-5.1 全维状态观测器,原受控系统动态方程为：,全维状态观测器的动态方程为：,全维状态观测器：重构状态向量的维数等于受控系统状态向量的维数。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,42, 5-5.1 全维状态观测器,也可写成：,式中：,称为全

22、维状态观测器系统矩阵。,Hnxq为nxq维矩阵：,n为受控系统的特征多项式最高次幂，q为输出向量维数。,现在关键在于分析能否在任何初始条件下，其,与,尽管不同，但总能满足,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,43, 5-5.1 全维状态观测器,分析：由于,故,上述方程的解为：,当,时，恒有,，所引入的输出反馈并不起作用；当,时，为使,，输出反馈起作用。这时只要,的特征值具有负实部。当,时，总有,成立。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,44,2 . 观测器的定义及存在条件 设线性定常系统,的状态x不能直接量测，如果动态系统,以,的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量,

23、渐近于x，即,，则称,为,根据上述定义可得构造观测器的原则是： (1)观测器,应以,(2)为满足,，,必须完全能观测，,的输出,的一个状态观测器。,的输入u和输出y为其输入量。,或其不能观测子系统是渐近稳定的。,(3),应以足够快的速度渐近于x。, 5-5.1 全维状态观测器,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,45,观测器存在的充分条件为线性定常系统是完全能观测的。 观测器存在的充要条件为线性定常系统的不能观测部分是渐近稳定的。, 5-5.1 全维状态观测器,3 . 状态观测器的设计,利用对偶原理 观测器的特征多项式等于期望的特征多项式 利用f(A),2009-08,CAUC-空中交

24、通管理学院,46, 5-5.1 全维状态观测器,注 意：要求（或希望）观测器的响应速度稍快于受控系统的响应速度。,定理5.7: 若受控系统0(A,B,C)可观测，则其状态可用形如,的全维状态观测器给出估值。矩阵H按任意配置极点的需要来选择。,【例5.5.1】已知受控系统传递函数为,若其状态不能直接量测，试设计一状态观测器使(A-HC)的极点配置在,解：,(1) 列写受控系统的状态空间表达式0(A,B,C) 。因G(s)不存在零极点对消，故系统可控可观测。（注意：设计状态观测器的前提是系统完全可观测）可控标准型为：,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,47, 5-5.1 全维状态观测器,

25、（2）由于n=2,q=1 ，故,（3）全维状态观测器系统矩阵为,（4）全维状态观测器特征多项式为,（5）期望特征多项式为,（6）令,，有,故,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,48, 5-5.1 全维状态观测器,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,49, 5-5.1 全维状态观测器,【例5.5.2】已知SISO系统的动态方程为,试设计一状态观测器，使(A-HC)的极点配置在-3,-4,-5。,解： （1）判别可观测性：,故系统状态完全可观测。,（2）由于n=3,q=1 ，故,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,50, 5-5.1 全维状态观测器,（3）全维状态观测器的

26、特征多项式为：,（5）期望特征多项式为,（6）令,，有,所以,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,51, 5-5.1 全维状态观测器,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,52, 5-5.2 降维状态观测器的设计,二、降维状态观测器的设计,状态观测器其维数和被控系统的维数相统，故称为全维观测器。 系统的输出器y总是能够量测的。因此，可以利用系统的输出量y来直接产生部分状态空间变量，从而降低观测器的维数。 可以证明，只要系统是完全能观测的，若输出为m维，待观测的状态为n维，则需要观测器的状态就可以减少为nm维代替全维观测器，这样观测器的结构可以大大简化。 这 nm维的观测器就成为降

27、维观测器。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,53, 5-5.2 降维状态观测器的设计,定理55 已知线性定常系统,式中,输入u为r维；输出y为m维。,是完全能观测的。,假设,为mXm非奇异矩阵；为矩阵；,则矩阵维降维观测器为,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,54, 5-5.2 降维状态观测器的设计,此时，状态x的渐近估计为,其中,证明：,（1）令,非奇异矩阵；,为,为,矩阵。,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,55, 5-5.2 降维状态观测器的设计,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,56, 5-5.2 降维状态观测器的设计,2009-08,CAUC

28、-空中交通管理学院,57, 5-5.2 降维状态观测器的设计,对x2进行重构:,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,58, 5-5.2 降维状态观测器的设计,如果令：,则观测器的方程为：,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,59,为了消去等式右边的导数项，作变换, 5-5.2 降维状态观测器的设计,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,60,计算过程：首先求z，再求,例题见书上P213, 5-5.2 降维状态观测器的设计,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,61,5-5.3带有全维状态观测器的状态反馈系统,三、带有全维状态观测器的状态反馈系统 状态观测器的建立为那

29、些状态变量不能直接量测的系统实现状态反馈创造了条件。然而这种依靠状态观测器所构成的状态反馈系统和直接进行状态反馈的系统毕竟是不同的。本节主要讨论在带有状态观测器的状态反馈系统中，其状态反馈增益矩阵和观测器的反馈矩阵怎样设计。,设能控能观测的系统为：,状态反馈控制律为：,状态观测器的方程为：,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,62,5-5.3带有全维状态观测器的状态反馈系统,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,63,5-5.3带有全维状态观测器的状态反馈系统,2009-08,CAUC-空中交通管理学院,64,定理5.8（分离定理）: 若受控系统(A,B,C)可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，