数学新学案北师大版选修课件第二章空间向量与立体几何 (7).pptx

1、5夹角的计算,5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角,一,二,思考辨析,一、直线间的夹角,一,二,思考辨析,【做一做1】 设直线l1的方向向量为s1=(1,1,1),直线l2的方向向量为s2=(-2,2,-2),则l1,l2夹角的余弦值cos =.,3.利用直线的方向向量求两条直线的夹角时,要注意两条直线的方向向量所成角与两条直线的夹角的关系,这两者不一定相等,还可能互补.,一,二,思考辨析,二、平面间的夹角,一,二,思考辨析,3.两个平面的夹角与其法向量所成角不一定相等,还可能互补.,一,二,思考辨析,【做一做2】 已知平面1的法向量n1=(1,-1,3),平面2的法向量n2=(-1,0,-1

2、),则这两个平面夹角的余弦值为.,解析:n1=(1,-1,3),n2=(-1,0,-1),一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (),(3)平面间夹角的大小就是这两个平面的法向量的夹角. (),探究一,探究二,思想方法,直线间的夹角 【例1】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC的夹角.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,解法二以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),

3、B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a).,探究一,探究二,思想方法,反思感悟求异面直线的夹角,用向量法比较简单,若用基向量求解,则必须选好空间的一组基向量,若用坐标系求解,一定要将每个点的坐标写正确.,探究一,探究二,思想方法,变式训练1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.,异面直线A1M与DN所成的角为90.,答案:90,探究一,探究二,思想方法,平面间的夹角 【例2】 等边三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边上的中点(如图),现将ABC沿CD翻折,使平面ACD平面

4、BCD(如图).求平面ABD与平面EFD夹角的余弦值.,探究一,探究二,思想方法,解:由已知CDAD,CDBD, ADB就是平面ACD与平面BCD的夹角的平面角, ADBD. 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2 ,0), E,F分别是AC,BC的中点,探究一,探究二,思想方法,反思感悟利用向量方法求平面间夹角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到平面间夹角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定平面间夹角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与平面间夹角的大小完全等同

5、起来.,探究一,探究二,思想方法,变式训练2如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求平面AA1D与平面A1DB夹角的余弦值.,解:如图,取BC的中点O,连接AO. ABC是等边三角形, AOBC. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1, AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点为O1,以O为原点,以直线OB,OO1,OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,探究一,探究二,思想方法,设平面A1AD的一个法向量为n=(x,y,z),探究一,探究二,思想方法,函数与方程思想 利用空间向量的坐标运算解决已知夹角的问题时,常需要建立方程求解,或利

6、用函数求最值. 【典例】 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且A1P=A1B1.问:是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC的夹角为30?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.,探究一,探究二,思想方法,解:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,令x=3,得y=1+2,z=2-2, n=(3,1+2,2-2). 又AA1平面ABC,探究一,探究二,思想方法,化简得42+10+13=0. (*) =100-4413=-1080, 方程(*)无解, 不存在点P使得平面PMN与

7、平面ABC的夹角为30. 方法点睛利用向量法解决有关夹角的存在性问题时,常先假设存在,然后根据条件建立方程(组),根据方程(组)解的情况,以及已知条件的限制得出结论.,探究一,探究二,思想方法,变式训练在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱的长度都是2,M是BC边的中点.试问:侧棱CC1上是否存在一点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45?,解:以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 因为所有棱的长都是2,探究一,探究二,思想方法,假设侧棱CC1上存在一点N(0,2,m)(0m2),使得异面直线AB1和MN所成的角等于45,所以侧棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB

8、1和MN所成的角等于45.,1 2 3 4,1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB=FB=1,则直线EC1与FD1夹角的余弦值是(),方向建立空间直角坐标系, 则E(3,3,0),F(2,4,0),D1(0,0,2),C1(0,4,2).,答案:A,1 2 3 4,2.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,如果PA=AB,那么平面ABP与平面CDP的夹角的大小为() A.30B.45 C.60D.90 解析:根据题设条件,将图形恢复为一个正方体ABCD-PRNM,则平面ABP即平面ABRP,平面CDP即平面CDPR,二者的交线为PR,显然DPA为平面DPR与平面APR的夹角的平面角,且DPA=45. 答案:B,1 2 3 4,3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是.,解析:因为ACA1C1,所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所,1 2 3