1.3.2.2.ppt

1、利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式.,利用函数奇偶性求函数解析式,【名师指津】,【例1】函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)= -x+1,求当x0时,f(x)的解析式. 【审题指导】解答这类问题，求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上设x，变号后代入已知的函数解析式，借助函数奇偶性求解.,【规范解答】设x0, f(-x)=-(-x)+1=

2、x+1, 又函数f(x)是定义域为R的奇函数, f(-x)=-f(x)=x+1 当x0时,f(x)=-x-1.,【互动探究】本例若将“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，则结论又如何？ 【解析】设x0, f(-x)=-(-x)+1=x+1. 又函数f(x)是定义域为的偶函数, f(-x)=f(x)=x+1,当x0时，f(x)=x+1,【误区警示】本题易出现设错变量的情况而导致错解.,【变式训练】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x (0,+)时，f(x)= (1+x), (1)求f(27)与f(-27)的值； (2)求f(x)的解析式. 【解题提示】利用区间的对称性求(-,0)上的解析

3、式，利用奇函数的性质求f(0).,【解析】(1)由题意知f(-27)=-f(27) = (1+27)=-84， f(27)=84,f(-27)=-84. (2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0. 设x0,则f(-x)= 1+(-x) = (1-x),又f(-x)=-f(x),f(x)= (1-x),函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反. (2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等.,函数的奇偶性与单调性的关系,【名师指津】

4、,【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+)上是增函数，求证：f(x)在(-，0)上是增函数. 【审题指导】证明函数的单调性，一般是根据定义来证明.本题由于已知函数在(0，+)上是增函数，因而应设法将问题转化为已知来证明.,【规范解答】设任意x1,x2(-，0)，且x1x2，则 -x1-x20， f(x)在(0，+)上是增函数， f(x)f(-x2), 又f(x)是定义在R上的奇函数， -f(x1)-f(x2)即f(x1)f(x2), f(x)在(-，0)上是增函数.,【互动探究】本例中，若f(x)是偶函数，其他条件不变，则结论又是什么？ 【解析】设任意x1,x2(-，0)，且x1

5、x2， 则-x1-x20， f(x)在(0，+)上是增函数，f(x)f(-x2), 又f(x)是定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2)， f(x)在(-，0)上是减函数.,利用函数奇偶性求值的策略 (1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义,构造函数,从而使问题得到快速解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数，若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题.,利用函数奇偶性求值,【名师指津】,【例】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值等于_. 【审题指导】此类问题应将已知和所求充分联系起

6、来，将所求转化为已知来解.,【规范解答】f(x+2)-f(x)， f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(4+0)=-f(0), 又f(x)是定义在R上的奇函数， f(0)=0，即f(6)=0. 答案：0,【变式备选】设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=_. 【解析】函数y=f(x)是奇函数， f(-2)+f(-1)-3=-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3, f(1)+f(2)=-3. 答案：-3,【典例】(12分)奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，且f(1-a)+f(2a-1)0，求实数a的取值范

7、围. 【审题指导】解决抽象函数的不等式问题，常用方法是根据函数的奇偶性和单调性脱掉“f”，转化为具体不等式来解.,【规范解答】由f(1-a)+f(2a-1)0， 得f(1-a)-f(2a-1),2分 f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)， 4分 f(1-a)f(1-2a), 6分 又f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，,9分 解得0a1，11分 即所求实数a的取值范围是0a1.12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】f(x)是定义在-1,1上的偶函数，且在 0,1上递增.若f(a)f( ),求实数a的取值范围.,【解析】f(x)是定义在-1,1上的偶函数，

8、且在0,1上递增， 当a0时，f(a)f( )，0a . 当a0,f(a)=f(-a) f(-a)f( ), -a ,0a- 综上可知- a .,1.函数f(x)=ax2,a0,则必有( ) (A)f(a)f(-a)(D)f(a)=f(a+1) 【解析】选B.显然函数f(x)=ax2,a0是偶函数， f(a)=f(-a) .,2.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数，则a等于( ) (A)-2(B)-1(C)1(D)2 【解析】选C.f(x)为偶函数， f(-x)=f(x), 即(-x+1)(-x-a) =(x+1)(x-a) 即2ax=2x,a=1.,3.已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) (A)4(B)3(C)2(D)0 【解析】选D.偶函数的图象关于y轴对称，因而图象与x轴的交点关于原点对称，所以方程f(x)=0的所有实根之和是0.,4.偶函数y=f(x)在-2，-1上有最大值-2，则该函数在1，2上的最大值为_. 【解析】因为偶函数的图象关于y轴对称，所以当函数在-2，-1上有最大值-2时，它在1，2上也有最大 值-2. 答案：-2,5.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x,则f(-2)= _. 【解析】f(x)是奇函数， f(-2)=-f(2)=-2. 答案：-2,6.已知函数f(