河南省郑州市八校联考2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）（通用）

1、河南省郑州市八校联考2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.复数的虚部是（ ）.A. -1B. C. 1D. 【答案】A【解析】试题分析：，虚部是考点：复数的虚部【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式

2、,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.要证明，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）.A. 综合法B. 分析法C. 类比法D. 归纳法【答案】B【解析】试题分析：因为条件没有，直接证明比较难以说明，只要分析法，要证明结论，转换为有理式，需要将两边平方法，这样就可以借助于我们有理数的大小关系来判定了，故选B.考点：不等式的证明方法分析法.3.设函数在处存在导数为2，则（ ）.A. B. 6C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可。【详解】根据导数定义， 所以选A【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题。4.若函数，则（ ）.A.

3、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的求导公式求导即可得出结果.【详解】因为，所以，故选C【点睛】本题主要考查函数的求导，只需熟记基本初等函数的求导公式即可求解.5.由曲线，以及所围成的图形的面积等于（ ）.A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先求出曲线的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可.详解：曲线的交点坐标为，由曲线以及围成的图形的面积，就是，故选D.点睛：本题主要考查定积分几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在

4、轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.6.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现：三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：，应选答案D。7.已知函数，若在区间内恒成立，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】，在内恒成立，在内恒成

5、立，设，时，即在上是减少的，即的取值范围是，故选D.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.8.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是（ ）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】若甲猜对，则乙也猜

6、对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为：C.9.已知，则（的最小值是（ ）.A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】设点是曲线上的点，点是直线上的点；可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方然后将问题转化为求曲线上一点到直线l距离的最小值的平方，直接对函数求导，令导数为零，可求出曲线上到直线距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案【详解】设是曲线上的点，是直线上的点； 可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方 对函数求导得，令，得， 所以，曲线上一点到直线上距离

7、最小的点为， 该点到直线的距离为 因此，的最小值为 故选：C【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题10.设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知当时，有恒成立，可判断函数 为减函数，由是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可【详解】设则g（x）的导数为 当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）0，当x0时，函数为减函数，又，函数g（x）为定义域上的偶函数又

8、函数g（x）的图象如图：数形结合可得xf（x）0且，f（x）=xg（x）（x0）x2g（x）0g（x）0 0x1或-1x0 故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题11.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案【详解】当x0时，y4130，排除C，当x0时，是单调递减的，当x时，导函数为-4sinx-0时，函数时递减的，故选A.故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题12.设函数，函数，若对任

9、意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出的导函数，并根据导函数的符号确定函数的值域；根据任意的，总存在，使得成立这一条件，可确定m的取值范围。【详解】对函数求导，得 令，得 且当 时，；当 时，所以 在 处取得最小值 ，且 所以的值域为 因为对任意的，总存在，使得所以 当时，为单调递增函数所以，代入得 所以选D【点睛】本题考查了导数在求参数取值范围中的综合应用，全称命题、特称命题的综合应用，属于难题。二、填空题.13._【答案】.【解析】【分析】被积函数利用二倍角余弦降幂，然后求出被积函数的原函数，代入区间端点值后即可得到结论【详解】=

10、故答案为：【点睛】本题考查了定积分，解答此题的关键是把被积函数降幂，此题为基础题14.定义运算则函数的图象在点处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】由题意先写出函数的解析式，然后对求导，求出切线的斜率，进而可求出切线方程.【详解】由题意可得，所以，所以在点处的切线斜率为，所以切线方程为，整理得，故答案为：【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.15.观察下列各式： 根据规律，计算_.【答案】708【解析】【分析】分析各式找到规律即可求解【详解】根据规律可得，的最前两位是紧接着的两位是则同理得，故708故答案为7

11、08【点睛】本题考查合情推理，找到规律是关键，是基础题16.已知函数，若，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【详解】设，则令，则，在上单调递增，且，当时，单调递减；当时，单调递增故的最小值为故答案为.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知复数，且为纯虚数.（I）求复数；（）若，求复数的模.【答案】(1)z3I;(2).

12、【解析】【分析】(1)先计算得到，再根据纯虚数的概念得到b的值和复数z.(2)直接把复数z代入计算求w和|w|.【详解】是纯虚数，且，【点睛】(1)本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b0漏掉了.18.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（I）求和的值.（II）求函数的解析式.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可详解：（1）f（x）在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0故点（1，

13、f（1）在切线6xy+7=0上，且切线斜率为6得f（1）=1且f（1）=6（2）f（x）过点P（0，2）d=2f（x）=x3+bx2+cx+df（x）=3x2+2bx+c由f（1）=6得32b+c=6又由f（1）=1，得1+bc+d=1联立方程得故f（x）=x33x23x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力19.在数列中，（I）求，的值，由此猜想数列的通项公式：（）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】【解析】试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边

14、的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3）由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解a1，a2，a3，a4，猜想an，下面用数学归纳法证明：当n1时，a1，猜想成立假设当nk（k1，kN*）时猜想成立，即则当nk1时，所以当nk1时猜想也成立，由知，对nN*，an都成立考点：用数学归纳法证明与正整数有关的命题.20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端

15、桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建个桥墩，记余下工程的费用为万元.（I）试写出关于的函数关系式：（注意：）（）需新建多少个桥墩才能使最小？【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）利用两墩相距m米，写出n关于x的函数关系式；（2）根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（3）把m=640米代入到y的解析式中并求出y令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可【详解】（1）

16、 即所以 （）（2） 由（1）知，令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小【点睛】本题考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力21.已知 （I）当时，求的极值；（）当时，讨论的单调性【答案】（I） 极大值为，无极小值（）见解析【解析】【分析】（I）当时，解不等式则单调性及极值可求；（），讨论，时的正负则单调性可求【详解】（I）当时， 由，解得，可知在上是增函数，在上减函数极大值为，无极小值（） 当时，在和上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当，在和（上是增函数，在上是减函数【点睛】本题考查导数与函数的单调性及极值，分类讨论思想，考查计算能力，是基础题22.已知函数有极小值.（I）求实数的值；（）若，且对任意恒成立，求的最