河南省驻马店市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）（通用）

1、河南省驻马店市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）本试题卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。3考试结束，监考教师将答题卡收回。第I卷（选择题共60分）、选择题：本大题共12小题，每小题5

2、分，共60分。在每小题给出的代号为ABCD的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得： ，所以 解得： 故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。解得

3、。所以双曲线的方程为，故答案选A。【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。3.设，若，则的最小值为A. B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。【详解】由题意知，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。4.设某大学的女生体重y（单位：

4、kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（，）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x85.71，则=0.850，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C

5、正确；该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.8517085.71=58.79kg，D错误故选：D5.在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形。【详解】由题意知，由正弦定理得又展开得，又角A，B，C是三角形的内角又综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C。【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化

6、成角时，要注意的应用。6.下列判断错误的是A. 若随机变量服从正态分布，则B. “R，”的否定是“R，”C. 若随机变量服从二项分布：，则D. “”是“ab”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据题目可知，利用正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质逐项分析，得出答案。【详解】（1）随机变量服从正态分布，故选项正确。（2）已知原命题是全称命题，故其否定为特称命题，将换为，条件不变，结论否定即可，故B选项正确。（3）若随机变量服从二项分布：，则，故C选项正确。（4）当时，“ab”不能推出“”，故D选项错误。综上所述，故答案选D。【点睛】本

7、题是一个跨章节综合题，考查了正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质四个知识点。7.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，结合导数的几何意义，先对函数进行求导，求出点处的切线斜率 ，再根据点斜式即可求出切线方程。【详解】由题意知，因此，曲线在点处的切线方程为，故答案选C。【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，一般利用点斜式构造直线解析式。8.在的展开式中，的幂指数是整数的共有A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项【答案】D【解析】【分析】根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求

8、出的幂指数是整数的项的个数。【详解】由题意知，要使的幂指数是整数，则必须是的倍数，故当满足条件。即的幂指数是整数的项共有项，故答案选D。【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。9.命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的的取值范围，的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果。【详解】命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题根据选项满足是的必要不充分条件只有，故答案选B。【点睛】本题

9、主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件。10.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题目可知，分别求出男生甲被选中的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件概率的公式，即可求解出结果。【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，所以，故答案选A。【点睛】本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算，特别要注意的求法。11.已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A. B

10、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目条件，构造函数，求出的导数，利用“任意的满足”得出的单调性，即可得出答案。【详解】由题意知，构造函数，则。当时，当时，恒成立在单调递增，则，化简得，无法判断A选项是否成立；，化简得，故B选项不成立；，化简得，故C选项不成立；，化简得，故D选项成立；综上所述，故选D。【点睛】本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。12.己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

11、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题目可知，过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义，结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，即可求出的的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。【详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过作准线的垂线，垂足为，则根据则抛物线的定义，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，与联立，得，令，解得可得，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上双曲线的实轴故答案选B。【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形

12、结合思想。第卷（非选择题共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13.己知是等差数列的前项和，则_.【答案】7【解析】【分析】根据题目是等差数列的前项和，利用等差数列的通项公式和前项和公式，建立两个含有、的方程并求解，再利用等差数列的通项公式即可求解出的值。【详解】由题意得，解得，所以，故答案为7。【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，在等差数列中，五个基本量“知三求二”，基本量中公差是联系数列中各项的关键，是解题的关键。14.若向量，且，则等于_.【答案】6【解析】【分析】根据题目，可知，根据空间向量的直角坐标运算律，即可求解出的值。【详解】由题意知，向量，即解得，故答案

13、为6。【点睛】本题主要考查了根据向量的垂直关系，结合数量积运算求参数。15.太极图被称为“中华第图”，从孔庙大成殿梁柱至白外五观的标识物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或来表示，设是阴影中任点，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】根据题目可知，平移直线，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值，根据相切关系求出切点，代入，即可求解出答案。【详解】由题意知，与相切时，切点在上方时取得最大值，如图;此时，且，解得所以的最大

14、值为3，故答案为3。【点睛】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题，形如题目中所示的目标函数常化归为求纵截距范围或极值问题。16.在中，是角A，B，C的对边，己知，现有以下判断：的外接圆面积是；可能等于16；作A关于BC的对称点，则的最大值是.请将所有正确的判断序号填在横线上_.【答案】【解析】【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个命题的真假。【详解】设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故正确。根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故正确。，故错误。设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据中的结论，可得，故正确。综上

15、，答案为。【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知数列满足，且.（I）证明：数列是等差数列；（II）求数列的前项和.【答案】（I）见解析（II）【解析】【分析】（I）根据题意，对于，变形可得，根据等差数列的定义分析可得结论；（II）由（1）中的结论，结合等差数列的通项公式可得，即可得出，再根据错位相减法即可求解出结果。【详解】解：（I）由，可得所以得为等差数列，公差为1；（II），-得【点睛】本题主要考查了构利用定义法证明

16、等差数列以及错位相减法求数列的前项和，证明时采用了构造的方法，错位相减法主要用于数列的形式为等差乘等比。18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且，E为PD中点.（I）求证：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.【答案】（I）见解析（II）【解析】【分析】（I）根据题目所给条件，利用直线与平面垂直的判定方法分别证明出平面PAB以及平面，进而得到和，从而推得线面垂直。（II）根据已知条件，以A为原点，AB为轴，AD为轴，AP为轴建立直角坐标系，分别求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值。【详解】解：（I）证明：底面

17、ABCD为正方形，又，平面PAB，同理，平面ABCD（II）建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则，易知设为平面ABE的一个法向量，又，令，得设为平面AEC的一个法向量，又令，得.二面角B-AE-C的正弦值为.【点睛】本题主要考查了通过证明直线与平面垂直来推出直线与直线垂直，以及利用向量法求二面角的问题，解题时要注意根据图形特征或者已知要求确定二面角是锐角或钝角，从而得出问题的结果。19.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为

18、详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动

19、好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）.【解析】试题分析：（1）由题意求得 的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可试题解析（1）由列联表的数据，有 .因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，.， ， ， ，的分布列为：的数学期望为 （元）. 20.已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点P的轨迹为曲线C（I）求曲线C的方程；（II）过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：【答案】（I）（II）见解析【解析】【

20、分析】（I）根据题目点到点的距离和到直线的距离之比为，列出相应的等式方程，化简可得轨迹C的方程；（II）对直线分轴、l与x轴重合以及l存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当l存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C的方程进行联立，结合韦达定理，可推得，从而推出。【详解】解：（I）到点的距离和到直线的距离之比为.，.化简得：故所求曲线C的方程为：.（II）分三种情况讨论：1、当轴时，由椭圆对称性易知：2、当l与x轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：3、设l为：，且，由化简得：，设MA,MB，所在直线斜率分别为：，则此时，综上所述：.【点睛】本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线

21、与圆锥曲线的综合问题。解决直线与圆锥曲线位置关系中常用的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设而不求的整体代入的技巧与方法。21.已知函数.（I）讨论极值点的个数.（II）若是的一个极值点，且，证明：.【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析【解析】【分析】（I） 根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求得函数的极值的个数。（II）根据是的一个极值点，得出，再根据，求出的范围，再利用（）中的结论，得出的单调性，观察得出，对与的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明。【详解】（I），或1、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，2、当，即时，f（x）单调递增，此时无极值点.3、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，故当时，无极值点：当时，有两个极值点.（II）由（）知，且，由（1）中3知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又（这一步是此题的