静力学原理应用于弹性杆.ppt

1、内力的概念,内力 物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用力； 材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”； 内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消失。,截面法求内力的三步曲,沿横截面截开，留下一部分作为研究对象，弃去另一部分截开 用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下部分的作用替代 对留下部分建立平衡方程并解之平衡,内力必须满足平衡条件,作用在弹性体上的外力相互平衡,内力与外力平衡； 内力与内力平衡。, 弹性体受力与变形特点,内力主矢与内力主矩 (Resultant Fo

2、rce and Resultant Moment),使用静力平衡方程求出内力FR和M SFi=FRSmo(Fi)=M, 内力分量(Components of the Internal Forces),在确定的坐标系中,轴力、剪力、扭矩、 弯矩及其可能产生的变形效应。,例1.1,确定m-m截面上的内力,N=P,M=Pa,整个杆件最大的轴力发生在固定端截面上，其值：,例1 直径为 d 长为 l 圆截面直杆，铅垂放置，上端固定，若材料单位体积质量为 ，试求因自重引起杆的 m-m 截面的内力 。,解：,一、拉、压杆的内力(Internal Forces),轴力图举例,轴力图,例-2： F1=2.5kN

3、,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。,解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示 Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN,2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示 Fx=0 FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN （负号表示所画FN2方向与实际相反）,3)图14-1-4为AB杆的轴力图,已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,例题2-3,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,轴力图举例,轴力图举例,轴的扭矩,扭转内力,

4、扭矩 Torque : 用T表示 扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则： 矢量离开截面为正，矢量指向截面为负。,轴的扭矩图示例, 扭矩图计算时扭矩用矢量表示,例 题,AB段扭矩,AC段扭矩,5-2 弯曲的概念和内力,弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。 对称弯曲：载荷作用在梁的纵向对称平面内。 平面弯曲,5-2 弯曲的概念和内力 梁的类型,静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁的基本形式有： 简支梁：一端固定铰支座，另一端可动铰支座的梁，如图5-3a 悬臂梁：一端固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。 外

5、伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c。,图5-3,梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。截面 mm 上将产生内力,这些内力将与外力FA和 F1；或FB和F2；在梁的左半段或右半段构成平衡力系。,5.2 剪力图和弯矩图,5-2 剪力和弯矩,根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面 mm 的形心O取矩，其力矩总和应为零，即MC =0，则,截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。,+,_,截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。,左上右下为正；反之为负,左顺右逆为正；反之为负,剪力和弯矩的符号规则,剪力、弯矩方程法,若以横坐标 x 表

6、示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函数，即：,函数在直角坐标系下的曲线，即为剪力图和弯矩图。举例如下：,剪力图和弯矩图,或写成：,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩 方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,5.2. 剪力图和弯矩图的绘制,例题5.2-1,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,5.2. 剪

7、力图和弯矩图的绘制,例题5.2-2,5.2. 剪力图和弯矩图的绘制,例题5.2-3,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。, 内力与外力的相依关系, 某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡；, 在载荷无突变的一段杆的各截面 上内力按相同的规律变化；,平衡微分方程,内力与外力关系,杆件各截面上内力 变化规律随着外力的变 化而改变。, 平衡微分方程,内力与外力关系,结 论,例：简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程

8、和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,【解】（1）求支座反力,(2) 建立剪力方程和弯矩方程,（3）作剪力图和弯矩图, 控制面的概念： 外力规律发生 变化的截面集中力、集中力偶 作用点处、分布载荷的起点和终点处的横截面。,内力与外力关系, 平衡微分方程, 平衡微分方程,考察 dx 微段的受力与平衡, 平衡微分方程,Fy=0: FQy+q dx- FQy - d FQy =0,略去高阶项，得到:,Mc=0: -Mz+(Mz+dMz)- FQy dx- q dx .dx /2 =0, 平衡微分方程,类似地在xz平面内，也可以得到 类似的表达式，只是下标有所不同。, 平衡微分方程,不失一般性，略去下标，

9、写成,此即适用于所有平面载荷作用情形 的平衡微分方程。, 平衡微分方程,根据上述微分方程，由载荷变化规 律，即可推知内力FS 、M 的变化规律。,控制截面分段分析图举例,P,M,F,1,S1,F,S2,2,M,截面左段图,截面右段图,内力图(the Internal Force Diagram),剪力图和弯矩图 刚架的内力图, 剪力图和弯矩图画法, 根据平衡，可以确定控制面上 FQ、M 数值,确定函数变化区间； 根据剪力、弯矩、分布载荷之间的平衡微分方程总结出规律可以确定 FQ、M 的变化图形。, 内 力 图,FQ 、 M 图,4. 集中力作用处，剪力图突变；左右两侧控制面弯矩相等。 集中力偶

10、作用处，弯矩图突变；剪力图不变。,2.q常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（q 0），抛物线呈凸形。,载荷集度、剪力和弯矩关系：,q0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,3. 剪力 Fs=0 处，弯矩取极值。,利用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画图,利用微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。, 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩

11、值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,例题一, 内 力 图,FQ 、 M 图,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题二, 内 力 图,FQ 、 M 图,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题三, 内 力 图,FQ 、 M 图,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题四, 内 力 图,FQ 、 M 图,剪力、弯矩图直接画图法举例, 可以通过积分方法确定剪力图、 弯矩图上各点处的数值。,从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。,从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，

12、突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,例题5.2-5 简支梁受力的大小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,剪力、弯矩图直接画图法举例,3建立坐标系 建立 FSx 和 Mx 坐标系,5根据微分关系连图线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 FS x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,剪力、弯矩图

13、直接画图法举例,例题5.2-5 续,解法2：1确定约束力,FAy0.89 kN FFy1.11 kN,2确定控制面为 A、C、D、B 两侧截面。,3从 A 截面左侧开始画剪力图。,例题5.2-5 续,剪力、弯矩图直接画图法举例,4从 A 截面左侧开始画弯矩图。,从 A 左到 A 右,从 C 左到 C 右,从 D 左到 D 右,从 A 右到 C 左,从 C 右到 D 左,从 D 右到 B 左,从 B 左到 B 右,例题5.2-5 续,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题5.2-6 试画出梁剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力,2确定控制面,由于AB 段上

14、作用有连续分布载荷，故A、B 两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。,剪力、弯矩图直接画图法举例,3建立坐标系 建立FSx和Mx坐标系,4确定控制面上的剪力值，并将其标在FSx中。,5确定控制面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题5.2-6 续,解法2：1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A 截面左侧开始画剪力图。,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题5.2-6 续,4求出剪力为零的点到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左侧开始画弯矩图,剪力、弯矩图直接画图法举例,例题5