线性系统的数学描述.ppt

1、自动控制原理，杭州电子科技大学“自动控制原理”精品课程课题组2009.10，2006年度浙江省精品课程，第二章线性系统的数学描述，引言2.1线性系统的时域数学模型2.2传递函数复数域数学模型2.3结构图2.4信号流图，引言，数学模型的含义数学模型： 静态模型和动态模型的静态关系或静态特性：系统内的各变量随时间的推移而变化缓慢，可以忽略相对于时间的变化率(导数)，这些变量之间的关系被称为静态关系或静态特性，系统被称为静态系统。 相应的数学模型称为静态模型。 静态模型不包含变量对时间的导数。 动态关系或动态特性：不能忽略系统中变量随时间的变化率。 在这种情况下，每个变量之间的关系被称为动态关系或动

2、态特性，该系统被称为动态系统，并且对应的数学模型被称为动态模型。 控制系统的数学模型大部分指的是动态系统的数学模型。 控制系统中常见的三种数学模型的输入/输出描述，或外部描述从数学上表示系统的输入和输出量之间的关系。 微分方程、传递函数、频率特性、差分方程。 状态空间描述或内部描述不仅可以描述系统的输入和输出之间的关系，还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统的图表表示：用比较直观的结构图(框图)和信号流图表示。 注：同一系统的数学模型可以用不同的形式表示，必须根据情况选择使用这些模型。 建立数学模型的两种基本方法机制分析法：根据系

3、统和组件各变量之间的物理或化学规则列建立相应的数学关系式，并建立模型。 适用于相对简单的系统实验鉴别方法：人为地给系统施加某些测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行近似。 这种方法也称为系统识别。 应用于复杂系统，并且数学模型的许多概括的表面上完全不同的系统(如机械系统、电气系统、液压系统、经济学系统等)可能具有完全相同的数学模型。 数学模型显示了这些系统的共性。 建立数学模型后，研究系统主要根据数学模型分析整合系统的各项性能，不涉及实际系统的物理性质和具体特征。 使用数学模型确定系统性能的主要方法在本章中着重讨论了以下类型的控制系统模型微分方程单位冲激响应传递函数框图(结构图)信号

4、流图以及2.1线性系统的时域数学模型。 目的：从时域的角度，确立系统输入量(一定值)和系统输出量(被控变量)的关系。 微分方程的描述、单位冲激响应的描述这两种描述。 线性系统的微分方程式记述(机构建模法) SISO线性稳态系统的输入输出关系微分方程式记述的标准形式、(2-1)、式中r(t ) :系统的输入信号c(t ) :输出信号ai (I=1，2，n )和bj (j=0，1，m )是系统的构成关残奥词控制系统中的输出功率和输入功率通常是时间函数，许多常见组件或系统的输出功率和输入功率之间的关系可以用微分方程表示，方程表示输出功率、输入功率、 以及包含相应时间的导数或积分的控制系统的微分方程式

5、，也称为动态方程式或运动方程式，是方程式中的最高导数项的次数，也称为系统次数。 写系统微分方程的步骤划分不同的环节，消去决定系统输入量和输出量的各环节(要素)的写运动方程式的中间变量，使其成为求只包含系统输入输出变量及其各次数导数的方程式的标准形式。例2-1 :图2-1是由电阻r、电感l和电容器c构成的无源网络，试制了输入量、输出量的网络微分方程式。 求解电路电流为i(t )，用基尔霍夫电压法则写出的电路方程式可以消除中间变量i(t )，写出能够记述该无源网络的输入输出关系的微分方程式(2-2)式。 这是典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统被称作二阶线性稳态系统。 (2-3)、(2-2)、

6、例2-2 :图2-2是由理想运算放大器构成的电容负反馈电路。 电压和分别表示输入量和输出量，试着决定这个电路的微分方程式。 理解理想运算放大器的正、反相输入端电位相同，且输入电流为零。 根据基尔霍夫电流定律进行整理，或者式中的T=RC是时间常数。 式(2-4)和式(2-5)是该系统的微分方程式，这是一阶系统。 (2-4)、(2-5)、例2-3:图2-3表示包括弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。 外力f(t )是系统的输入量，位移y(t )是系统的输出量。 确定一个系统的微分方程。解按照牛顿的运动定律，系统的运动方程式或写成思考：比较式(2-3)和(2-7)可以得出什么结论，试着建立(2-6

7、)、(2-7)、(2-7)、例2-4系统的运动方程式。 在解图2-4所示的单摆系统中，能够根据牛顿运动法则直接导出下一个系统运动方程式的明显的方程式(2-8)是二次非线性微分方程式，但在振幅小的情况下，单摆运动方程式能够视为线性，(2-8)、(2)类似系统的数学模式相似系统的概念表明，一个物理系统研究的结论可以推广到相似系统中。 可以用比较容易实现的系统来模拟其他难以实现的系统。 系统，精确描述元件的非线性特性的普遍存在性系统；动态方程，通常是非线性微分方程，即高阶非线性微分方程，除了求和机解以外，没有一般形式的解，这给研究系统带来理论困难的线性微分方程的理论图2-5的非线性特性、1、相对于弱

8、非线性的线性化相对于2-5(a )，在输入信号小的情况下，忽略非线性的影响，对于与放大特性近似的2-5(b )、(c )，在死区或间隙小的情况下，也能够近似于放大特性。 2 .平衡位置小的偏差线性化考虑输入输出变量间的非线性关系y=f(x )，系统总是在平衡点A(x0，y0)工作时，a点附近的输入输出关系通过Talor级数展开的方法得到，即，在x小时，上式表示可得到a点的非线性方程式y=f(x )的、如果非线性函数具有两个参数，例如z=f(x，y )，则在平衡点展开为Talor级数后的线性方程经过上述处理，一些非线性关系可近似用线性关系表示，简化问题研究。 在强非线性的情况下(图2-5(d )

9、 )，无法对其进行线性化处理，只能使用非线性理论进行分析。 (第八章详细讨论)、复习回顾、控制系统的工程要求控制系统的建模机制分析法微分方程输入输出中间变量及机制分析弱非线性方程的线性化处理作业评价1-4(6)线性时变、二、*实验辨识法建模单位脉冲响应描述实验辨识法：利用输入输出的实验数据进行系统数学识别任务：决定操作员h (由系统自身的特性决定)。识别方法：根据已知输入信号对系统的响应，决定任意输入信号对系统的响应。 优点：在零初始条件下，内部结构未知的LTI系统可以测量系统输入和响应的实验数据，经过一定的处理求出其数学模型。 1 .单位冲激响应建模脉冲函数的概念单位冲激响应：在零初始条件下

10、的LTI的(t )作用下的输出，即g(t)=H(t )。 输入信号是A(t-)，系统冲激响应是Ag(t-)； 此外，当作用于系统的任意阶段性连续函数被叠加在一系列长方形的常数脉冲信号上时，如果脉冲宽度足够小，则针对LTI系统的任意输入r(t )的响应成为=d，如果将和式设为积分式，则针对输入作用时刻，t 因果系和零初始条件的约定是g(t-)=0，(t )，因此存在变量替换，得到卷积式的另一形式的结论： (21 )和(210 )、(211 )，得到(2-10 )、(2-11 )、2.2传递函数-复域数学模型，为什么是LTI系统的传递Laplace变换的回顾传递函数的定义建立LTI系统传递函数模型

11、的两种方法：微分方程、卷积式传递函数的特征和相关概念，一、为什么研究LTI系统的传递函数表示的微分方程是系统的时域数学模型，在某些外部作用和初始条件下求解微分方程和系统方法直观，可用校正机快速准确地求方程解。 但是，在系统的构造发生了变化，或者某个残奥仪表发生了变化的情况下，需要重写微分方程式来求解，系统的解析和设定修正并不容易。 拉普拉斯变换是求解线性常微分方程的有力工具，能够将时域微分方程变换为复频域代数方程，从而得到控制系统的复域数学模型传递函数。 传递函数不仅间接反映系统的输入输出动态特性，还间接反映结构和残奥仪表的变化对系统输出的影响。 为了从卷积公式建立系统数学模型，首先确定系统单

12、位冲激响应的解析函数描述g(t )。 实验得到的只是单位冲激响应的曲线和各采样时刻的值，将该曲线和采样序列转换为连续时间函数很复杂。 经典控制理论中广泛采用的频域法和根轨迹法是基于传递函数构建的。 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。 另一方面，在Laplace变换的评论1中，将拉斯变换的定义实变量t的函数f(t )乘以指数函数e-st (这里是复数)，并且在上面对t进行积分，通常可以得到新的函数F(s )、F(s )，F(s )是f(t )图像函数，f(t )是f(t )图像函数。 如果、2、拉斯变换的基本定理线性定理微分定理初始条件成立，则有定义积分定理初始值定理终了值定理、三、传

13、递函数的线性稳态系数的传递函数，在零初始条件下，有系统输出拉斯变换与输入拉斯变换的比。 四、建立LTI系统传递函数模型的两种方法是从卷积式角度建立TF模型从微分式角度建立TF模型电网络运算阻抗法直接建立TF模型1、从卷积式角度建立TF模型并拉舍尔(2-10 ) 结论传递函数是单位冲激响应函数g(t )的拉氏变换。 零初始条件下线性稳态系统输出拉斯变换与输入拉斯变换之比。2 .根据微分方程的角度建立TF模型的线性稳态系统用以下的n阶线性常微分方程式来描述：如果系统满足以下的零初始条件，则根据拉斯变换的定义和性质对微分方程式进行拉斯变换、拉斯，从而能够根据传递函数的定义得到m ()。 关于传递函数

14、的特征和概念应用于关于传递函数的概念应用于线性稳态系统传递函数的概念在零初始条件下定义的传递函数概念主要是单输入，在应用于单输出的情况下，传递函数是复变量s的有理真分式函数传递函数和线性稳态微分方程式一一对应的传递函数的特征方程式， 零点和极点传递函数三种形式传递函数不能反映系统或要素的学科属性和物理性质，六、典型环节(基本环节，基本单元)的数学模型为何研究典型环节的数学模型等复杂系统也是有限的典型环节的组合。 在数学上，所有有理分式传递函数由这些基本单元组成。 典型环节通常可分为以下八类。 请注意，一般形式的传递函数的典型分解，典型环节由微分方程式分开，而不是具体的物理装置或元件。 典型的连

15、结通常由多个元件之间的运动特性组成。 同一部件因系统不同而作用不同，输入输出的物理量不同，可以发挥不同环节的作用。 例如，振荡链路由电位计、电容器、电感三个要素构成，比例链路/放大链路比例链路也称为放大链路，该链路的与运动方程式对应的传递函数分别是公式中的k为增益。 特点：输入输出量成正比，无失真和时延。 例：电子放大器、齿轮、电阻(电位计)、感应式变送器等。 惯性环节也称为非周期环节，该环节的运动方程和对应的传递函数分别为式中t时间常数，k为比例系数。 特点：含有独立的储能元件，对于突变的输入，其输出不能立即再现，输出无振动。 例：直流伺服电机的励磁电路、RC电路。 纯微分链路纯微分链路常被

16、简称为微分链路，其运动方程和传递函数是特征：输出量与输入量的变化速度成比例，可以预测输入信号的变化趋势。 实际上没有单纯的微分环节，它经常与其他环节共存。 实际上能够实现的所有微分链路都具有恒定的惯性，其传递函数如下：积分链路积分链路的动态方程式和传递函数分别为特征：输出与输入量的积分成比例，当输入消失时，输出具有存储功能，能够改善明显的滞回性能。 例如：电动机的角速度和角度之间的传递函数、电容器充电、模拟校正机的积分器等。 二次振动链路的振动链路的运动方程式和传递函数分别是式中称为振动链路的衰减比，t是时间常数，n是系统的自然振动角频率(无衰减的自振动角频率)。 特点：环节有两个独立的储能元件，能量交换，其输出功率振荡。 例如： RLC电路的输出和输入电压间的传递函数、机械弹簧衰减系统的传递函数。 另外，纯时间延迟链路延迟链路的动态方程式和传递函数在公式中分别被