解析几何课件(吕林根+许子道第四版).ppt

1、解析几何课件(第四版),吕林根 许子道等编,第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面,第五章 二次曲线的一般理论,第一章 向量与坐标,第三章 平面与空间直线,第二章 轨迹与方程,第一章 向量与坐标,1.1 向量的概念,1.3 数乘向量,1.2 向量的加法,1.4 向量的线性关系与向量的分解,1.6 向量在轴上的射影,1.5 标架与坐标,1.7 两向量的数性积,1.9 三向量的混合积,1.8 两向量的矢性积,第二章 轨迹与方程,2.1 平面曲线的方程,2.2 曲面的方程,2.4 空间曲线的方程,2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程,第三章 平面与空间直线,3.1 平面的方程,3.3 两平面的相关位置,3

2、.2 平面与点的相关位置,3.4 空间直线的方程,3.6 空间两直线的相关位置,3.5 直线与平面的相关位置,3.7 空间直线与点的相关位置,第四章 柱面锥面旋转曲面 与二次曲面,4.1 柱面,4.3 旋转曲面,4.2 锥面,4.4 椭球面,4.5 双曲面,第五章 二次曲线的一般理论,5.1 二次曲线与直线的相关位置,5.3 二次曲线的切线,5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,5.4 二次曲线的直径,5.6 二次曲线方程的化简与分类,5.5 二次曲线的主直径和主方向,定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.,向量(矢量)既有大小又有方向的量.,向量的几何表示：,两类量:

3、数量(标量):可用一个数值来描述的量;,有向线段,有向线段的方向表示向量的方向.,有向线段的长度表示向量的大小,1.1 向量的概念,所有的零向量都相等.,模为1的向量.,零向量：,模为0的向量.,单位向量：,或,定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为,定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.,零向量与任何共线的向量组共线.,定义1.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.,定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.,零向量与任何共面的向量组共面.,O,A,B,这种求两个向量和的方法叫三角形法则.,定理1.2.1 如果把两个向量

4、 为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量,1.2 向量的加法,O,A,B,C,这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则,定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,O,A1,A2,A3,A4,An-1,An,这种求和的方法叫做多边形法则,向量减法,1.3 数乘向量,定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）第一分配律：,两个向量的平行关系,（3）第二分配律：,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例1设AM是三

5、角形ABC的中线，求证:,证,如图,因为,所以,但,因而,即,例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.,证,设ABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么,所以,且,1.4 向量的线性关系与向量的分解,例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.,A,B,C,D,E,F,P1,e1,e2,e3,连接AF，因为AP1是AEF 的中线，所以有,又因为AF是ACD 的中线，所以又有,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,1.5 标架与坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,2、坐标面与卦限,空间的点,有序数组,特殊

6、点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标.,3、空间点的直角坐标,称为向量 的坐标分解式.,4、空间向量的坐标,显然，,向量的坐标：,向径：,在三个坐标轴上的分向量：,(点M关于原点O),5、利用坐标作向量的线性运算,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,定理1.5.1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标。 定理1.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应坐标的和。 定理1.5.3 数乘向量的坐标等于数与向量对应坐标的积。 定理1.5.4 两非零向量共线的充要条件是对应坐标成比例。,定理1.5.5 三个非零向量 = 1 , 1

7、 , 1 , = 2 , 2 , 2 , = 3 , 3 , 3 共面的充要条件是 1 1 1 2 2 2 3 3 3 =0,解,6、线段的定比分点坐标,由题意知：,空间一点在轴上的射影,1.6 向量在轴上的射影,空间一向量在轴上的射影,关于向量的射影定理（1.6.1）,证,由此定义，,定理1的说明：,射影为正；,射影为负；,射影为零；,(4) 相等向量在同一轴上射影相等；,关于向量的射影定理（1.6.2）,（可推广到有限多个）,关于向量的射影定理（1.6.3）,解,启示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,M1,M2,1.7 两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论

8、两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积.,定义,关于数量积的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,若 、 为数：,（3）若 为数：,设,数量积的坐标表达式,由勾股定理,向量模的坐标表示式,向量的模与空间两点间距离公式,为空间两点.,空间两点间距离公式,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,方向角与方向余弦的坐标表示式,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,由图分析可知,向量的方向余弦,方

9、向余弦通常用来表示向量的方向.,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向的单位向量,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为：,证,例2 证明柯西-施瓦茨不等式 =1 3 2 =1 3 2 =1 3 2,1.8 两向量的矢性积,3 = = ,例1 证明 + =2() 例2 证明 () 2 + () 2 = 2 2,定义,设,混合积的坐标表达式,1.9 三向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,解,例1,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,第二章 轨迹与方程,取定相应坐标系后,平

10、面上的点,一一对应,二元有序数组,空间上的点,一一对应,三元有序数组,将图形看作点的轨迹，本章将建立轨迹与方程的 对应。,2.1 平面曲线的方程,曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上点的坐标 应满足的制约条件，一般用方程表示为,圆的方程,注 同一轨迹在不同坐标系下，一般有不同的方程.,曲线的参数方程,在解几中,曲线常表现为一动点运动的轨迹,但运动的规律往往不是直接反映为动点坐标 间的关系,而是表现为动点位置随时间 变化的规律.,当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也将随时间 的不同而改变, 这样的向径称为变向量, 记作,(2.1-3),(2.1-4),(2.1-5),(2.1-6),(2

11、.1-6),(2.1-7),(2.1-8),(2.1-9),(2.1-10),(2.1-11),(2.1-11),(2.1-12),(2.1-13),并不是所有参数方程都能化成普通方程.,此时,还应注意 同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程,如,练习题,曲面方程的定义：,2.2 曲面的方程,根据题意有,化简得所求方程,解,解,根据题意有,所求方程为,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,当 A2+B2+C2-4D 0 时, 是球面方程.,由上述方程可得球面的一般式方程为：,反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：,x2 + y2 + z2 +

12、Ax + By + Cz + D = 0 （*）,(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上方法称为截痕法.,二、曲面的参数方程,二、曲面的参数方程,例7 求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程.,注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.,抛物柱面,平面,抛物柱面方程：,平面方程：,三、母线平行与坐标轴的柱面方程,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面 ，,抛物柱面，,母线/ 轴,母线/ 轴,母线/ 轴,a,b,椭圆柱面,y,o,双曲柱

13、面,抛物柱面,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,2.4 空间曲线的方程,例1 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例2 方程组,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,表示怎样的曲线？,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比 即,上升的高度,螺距,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征

14、：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,3.1 平面的方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,？,平面一般式方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,平面的一般方程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三

15、点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,或,解,3.2 平面与点的相关位置,点到平面距离公式,在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,3.3 两平面的相关位置,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例1 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,（注：两平面不平行

16、）,一、空间直线的一般方程,3.4 空间直线的方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程,直线的对称式方程 （点向式方程）,因此,所求直线方程为,例1 求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直 线 垂直的直线方程.,解: 设所求线的方向向量为,已知平面的法向量,已知直线的方向向量,取,三、空间直线的参数式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,由直线的对称式方程,例2 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,

17、对称式方程,得参数方程,令,解,所以交点为,所求直线方程,定义,直线和它在平面上的射影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,3.5 直线与平面的相关位置,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,直线与平面的交点,分析: 关键是求得直线上另外 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点.,例2 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面,又与直线,相交的直线方程.,解 过M作平行于 平面 P 的一个平面P1,求平面 P1与已知直线 L的交点,P1:,即P1:,定义,直线

18、,直线,两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）,两直线的夹角公式,3.6 空间两直线的相关位置,两直线的位置关系：,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知 直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,M,N,L,代入平面方程得 ,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,P1,于是,点到直线的距离公式,3.7 空间直线与点的相关位置,解,3.6,空间两直线的相关位置,空间两直线的相关位置：,设直线 过点 ，其方向矢量为,直线 过点 ，其方向矢量为,定理3.7.1 和 两直线共面的充要条件是： 和 三个矢量

19、共面,即：三矢量的混合积为0。,1。相交：,3。重合：,2。平行：,4。两直线异面的充要条件是：,两直线的夹角：,定理3.7.2 在直角坐标糸中，,即：,推论 两直线垂直的充要条件是：,两异面直线的距离,显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线的距离等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。,定义3.7.2 与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂线。 定理3.7.3 两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面直线间线段的长。,定义3.7.1空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。,定理3.7.4 两异面直线之间的距离,两直线的公垂线方程,公垂线 可以看作由过点 ，以 为

20、方位矢量的平面及过点 ，以 为方位矢量的平面的交线。,因此，公垂线 的方程为：,例1。求通过点P（1，1，1）且与两直线,都相交的直线的方程。,解：,过 ， 过,设所求直线的方向矢量为v=(X,Y,Z),由,可得：X：Y：Z=0：1：2,所求直线的方程为：,则,p,例2。已知两直线,（1）证明：两直线为异面直线； （2）求两直线间的距离；（3）求两直线的公垂线方程。,解：（1）,两直线异面,（2）,（3）将数据代入公垂线方程，,即,它也可表示为：,这条公垂线的方程就是z轴。,得,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,4.1 柱面,

21、观察柱面的形成过程:,定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,母线,准线,柱面举例：,抛物柱面,平面,抛物柱面方程：,平面方程：,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面 ，,抛物柱面，,母线/ 轴,母线/ 轴,母线/ 轴,1. 椭圆柱面,2. 双曲柱面,定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.,这些直线都叫做锥面的母线.,那个定点叫做锥面的顶点.,锥面的方程是一个三元方程.,特别当顶点在坐标原点时：,4.2 锥面,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0,的图

22、形是以原点为顶点的锥面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：,准线,顶点,F(x,y,z)= 0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程,锥面是直纹面,锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.,椭圆锥面,例1 锥面的顶点在原点，且准线为 2 2 + 2 2 =1 = 求锥面方程。,解,圆锥面方程,或,例3 已知圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2+2+1=0，母线与轴成30度角。试求圆锥面方程。,定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.,这条定直线叫旋转曲面的旋转轴,这条曲线叫旋转曲面的母线,4

23、.3 旋转曲面,纬圆, 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线,说明： 纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线,S,旋转曲面的有关概念, 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线, 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。,经线和母线 一样吗？,l,M,经线,满足什么条件母线就经线？,旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成,纬圆（纬线）,经线,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,设旋转曲面的母线 ，,1 旋转曲面的一般方程,注： 写出这母线上任意一点 的纬圆方程或母线族 写出参数 的约束条件 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面

24、的方程）,旋转轴为直线,当 M1 遍历整个母线 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面,分析：,l,M1,S,旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面,例1 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程,母线不是经线,注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线。,单叶旋转双曲面,曲线 C,C,绕 z轴,曲线 C,C,绕z轴,.,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f (y1, z1)=

25、0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,建立旋转曲面的方程：,如图,将 代入,得方程,方程,例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,几种 特殊旋转曲面,1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面,x,0,1 双叶旋转双曲面,绕 x 轴一周,x,0,.,绕 x 轴一周,1 双叶旋转双曲面,x,0,.,1 双叶旋转双曲面,.,绕 x 轴一周,a,2 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,a,.,上题双曲线,绕 y 轴一周,2 单叶旋转双曲面

26、,a,.,.,.,2 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,3 旋转锥面,两条相交直线,绕 x 轴一周,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,3 旋转锥面,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,得旋转锥面,.,3 旋转锥面,o,4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,o,.,抛物线,绕 z 轴一周,4 旋转抛物面,y,.,o,x,z,.,4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,得旋转抛物面,卫星接收装置,例,5环面,r,R,绕 y轴 旋转所成曲面,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,.,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,环面方程,.,.,.,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,相

27、应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,4.4 椭球面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,椭球面的参

28、数方程是 =coscos =cossin =sin 其中 2 2 ， 02为参数。,例 已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆 2 9 + 2 16 =1，=0与点(1,2, 23 )，求这个椭球面的方程。,5 双曲面 hyperboloid,一、单叶双曲面的概念,b,此时的单叶双曲面是双曲线,当 时,方程,绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.,变为,b,.,单叶旋转双曲面,单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.,此时的单叶双曲面是双曲线,当 时,方程,绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.,变为,二、单叶双曲面的性质,1 对称性,2 顶点,关于三坐标平面对称；,关于三坐标轴对称；,关于坐标原点对称，（

29、0，0，0）为其对称中心.,方程（4.5-1）表示的图形是无界曲面.,与 z 轴无交点；,与 x 轴与 y 轴相交，,3 范围,三、单叶双曲面的图形(平行截割法),(2) 用y = 0 截曲面,(3) 用x = 0 截曲面,(1) 用z = 0 截曲面,） 用坐标面截割,(1)用z = h 截曲面,结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两定双曲线上滑动.,） 用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,） 用平行于坐标面的平面截割,当 时,截线为双曲线,(2)用y = h 截曲面,） 用平行于坐标

30、面的平面截割,当 时,截线为双曲线,y,x,z,o,） 用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,当 时,截线为双曲线,） 用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,当 时,截线为双曲线,y,x,z,o,） 用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,当 时,截线为直线,） 用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,当 时,(0 , b , 0),截线为直线,当 时,当 时,当 时,单叶双曲面：,用y = h 截曲面,分析：,这一族的椭圆方程为,即 ,从而椭圆焦点坐标为,消去参数 h 得,一、双叶双曲面的概念,z,O,例3 （2） 将双曲线 绕实轴

31、 （即 z 轴）旋转,c,当取 时,双叶双曲面,y,O,.,双叶旋转双曲面,b,例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 z 轴）旋转,二、双叶曲面的性质,1 对称性,2 轴、顶点,关于三坐标平面对称；,关于三坐标轴对称；,关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心.,与 z 轴相交，,与 x 轴、 y 轴无交点；,3 范围,用y = 0 截曲面,用x = 0 截曲面,用z = 0 截曲面,） 用坐标面截割,三、双叶双曲面的图形,无交点,x,） 用平行于坐标面的平面截割,（1）用 截曲面,当 时,当 时,交点坐标,截线为椭圆,（1）用 截曲面,当 时,结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小

32、位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动.,） 用平行于坐标面的平面截割,（2）用 截曲面,截线为双曲线,） 用平行于坐标面的平面截割,截线为双曲线,（3）用 截曲面,椭球面与双曲面能用一个方程表示吗？,分析：,6 抛物面paraboloid,解析几何 Chapter 4,Contents,椭圆抛物面 一、椭圆抛物面的概念 二、椭圆抛物面的性质 三、椭圆抛物面的图形,一、椭圆抛物面的概念(解析定义法),定义4.6.1 在直角坐标系下，由方程 (4.6-1) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面 (elliptic paraboloid).,方程

33、(1)叫做椭圆抛物面的标准方程.,旋转抛物面 ? 椭圆抛物面,o,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,o,.,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,y,.,o,x,z,.,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,旋转抛物面,Back,二、椭圆抛物面的性质,1 对称性,3 范围,为椭圆抛物面的顶点.,关于 z 轴，xOz 、yOz 坐标平面对称;,方程（4.6-1）表示的曲面全部在 xOy 平面的一侧.,Back,2 顶点,用y = 0 截曲面,用x = 0 截曲面,用z = 0 截曲面,） 用坐标面截割,三、椭圆抛物面的图形(平行截割法),Cx0,Cy0,两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向,用z =

34、h (h0)截曲面,结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动,） 用平行于坐标面的平面截割,用y = k截曲面,结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面.,） 用平行于坐标面的平面截割,用z = 0 截曲面,用y = 0截曲面,用x = 0截曲面,用z = h 截曲面,用y = k截曲面,用x = t截曲面,平

35、行截割法,主截口:,辅助截口:,例 已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与yOz面，且过点 和 ，求这个椭圆抛物面的方程。,分析：,对称面为xOz 面与yOz 面,且,Contents, 双曲抛物面,一、双曲抛物面的概念,二、双曲抛物面的性质,三、双曲抛物面的形状,一、双曲抛物面的概念,定义.在直角坐标系下，由方程 （4.6-） 所表示的曲面叫做双曲抛物面 ( hyperbolic paraboloid ), 其中a，b为任意的正常数.,方程（4.6-）叫做双曲抛物面的标准方程.,二、双曲抛物面的性质,1 对称性,2 范围,双曲抛物面（4.6-2）关于 xOz 、yOz 坐标平面以及

36、z 轴对称.,方程(4.6-2)表示的曲面是无界的.,xOz 、yOz 坐标平面是它的对称平面, z 轴是它的对称轴.,双曲抛物面无对称中心.,用坐标面y = 0 截割曲面，得,用坐标面x = 0 截割曲面，得,用坐标面z = 0 截割曲面，得,） 用坐标面截割曲面,三、双曲抛物面的形状,Cy0,Cx0,两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反.,(平行截割法),用平面z = h截割曲面，得,） 用平行于坐标面的平面截割曲面,当h0 时，,当h0 时，,Czh,Czh,用平面y= t 截曲面，得,） 用平行于坐标面的平面截割曲面,Cyt,结论： 如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面

37、相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面。,双曲抛物面被 xOy 面分割成上、下两部分，上半部分沿x轴的两个方向上升，下半部分沿y 轴的两个方向下降，曲面的大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作马鞍面。,思考：,抛物面的方程可以写成统一的形式：,（）,当 时， （）表示椭圆抛物面；,当 时， （）表示双曲抛物面.,抛物面的方程有统一的形式吗?,双曲抛物面,椭圆抛物面,例 作出曲面 与平面 ，三坐标 面所围成的立体在第一卦限部分的立体图形.,（2，0，0）

38、,（0，4，0）,分析：,（0，0，4）,D,（2，0，0）,（0，4，0）,（0，0，4）,B,C,A,例 作出曲面 与平面 ，三坐标 面所围成的立体在第一卦限部分的立体图形.,D,（2，0，0）,（0，4，0）,（0，0，4）,B,C,A,例 作出曲面 与平面 ，三坐标 面所围成的立体在第一卦限部分的立体图形.,.,空间曲线作图示例,（0，0，2）,（0，0，2）,L,.,.,.,.,空间曲线作图示例,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,作图练习,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=

39、6,2,.,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成

40、的立体图,作图练习,4,2,.,6,6,6,平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,作图练习,a,a,作图练习,a,a,作图练习,.,a,a,学画草图,作图练习,.,a,1,1,1,y,x,0,作图练习,a,a,a,作图练习,a,a,a,作图练习,.,a,a,a,作图练习,.,a,a,a,作图练习,.,问题： 这是个怎样的立体？,这是个七面体,7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,解析几何 Chapter 4,柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.,而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是

41、直纹曲面.,单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?,因而它们都是直纹曲面.,下面我们来证明:,这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线 所构成.,首先考虑单叶双曲面,（1）,其中 为正常数，,把（1）改写为,或者,（2）,等价!,（2）,现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:,改写为:,(2)/,(3),(3)与(2)等价吗?,不等价!,对于给定的u, (3)表示什么曲线?,直线,（4）,与,（4）,考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组,（2）,(2),(1),(3),也就是说,(3),与,（4）,（4）,合起来与单叶双曲面(1)的方程等价.,把(3),(4),(4)合起来组

42、成的一族直线叫做单叶双曲面的,(4)与(4)仍然表示直线,u族直线.,方程组(4),(4)实际上是（3）式中当参数 和 时的两种极限情形.,(3),（4）,（4）,现证明由这 族直线可以构成曲面(1)，从而它 是单叶双曲面(1)的一族直母线。,首先容易知道，,都在曲面(1)上.,u族直线中任何一条直线上的点,（1）,u族直线满足于,满足于,这是因为,反过来，设 是曲面(1)上的点.,下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上.,只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.,是曲面(1)上的点.,所以满足单叶双曲面方程,即,（5）,（5）,因此不失一般性，,假设,显然,与,不能同时为零.,如果,那么取

43、,的值使得,由(5)便得,所以点 在u直线上.,所以点 也在u直线上.,而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线， 称为u族直母线,（5）,如果,那么由(5)知必有,这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.,因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.,同样可以证明由直线,（6）,(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形),（7）,与,(7),合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线.,直纹面在建筑学上有意义,含两族直母线,例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的.,.,单叶双曲面是直纹面,推论 对于单叶双曲面上的点，

44、两族直母线 中各有一条直母线通过这点.,为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成,（4.7-1）,其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4).,(3),（4.7-2）,其中 不同时为零.,对于双曲抛物面,而v族直母线写成,同样地可以证明它也有两族直母线,它们的方程分别是,(4.7-3),（4.7-4）,与,分别称为u族和v族直母线.,含两族直母线,双曲抛物面是直纹面,也有下面的推论：,推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点.,单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来

45、构成建筑的骨架。,单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面的一些性质：,定理4.7.1,单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.,现在我们来证明定理的前半部分，单叶双 曲面上异族的任意两直母线必共面.,证:,单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:,这两条直线共面的充分必要条件是,四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.,所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.,定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的 任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面 同族的全体直母线平行于同一平面.,另外,还有下面的定理.,与,把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求

46、得,与,代入直母线族方程，得过(6,2,8)得两条直母线分别为,与,即,与,第五章 二次曲线的一般理论,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。,一 平面上的复元素,在复平面上引入下列复元素, 复向量：, 复直线：,在直角系下,一次方程ax+by+c=0(a,b为复数)所表示的图形,称为复直线;若a,b,c与三实数对应成比例,则称其为实直线,否则称其为虚直线。注意:实直线可以有虚点。,注：实直线上有无穷多个复点，但虚直线上只有一个实点。, 定比分点：, 共轭复元素：,三 为了方便起见，特引进一些

47、记号：,讨论二次曲线,与直线,的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程,（1）,（2）,5.1 二次曲线与直线的相关位置,（3）,（4）,对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：,解:,将直线,化为参数形式,得:,为(1,0),所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点。,因为:,5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,1.二次曲线的渐近方向,定义5.2.1 满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。,事实上，,为渐近方向,可见，对椭圆,，,对双曲线,它有二不同实渐近方向；,它有二相同的实渐近方向；,，,，,它有二共轭复渐近

48、方向；,对抛物线,对双曲线,它也有二不同实渐近方向；,，,定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。,即:椭圆型:I20；抛物型:I20；双曲型:I20,2. 二次曲线的中心与渐近线,定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。,定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,的根，而,定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线

49、(1)的中心，其充要条件是：,推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I20，分两种情况：,定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。,二次曲线分类：,渐近线求法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。,定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。,它的渐近线即为中心直线。,

50、定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。,则l与曲线不相交，,例1 试证明如果二次曲线 a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 有渐近线，那么它的两渐近线方程是 (x-x0, y-y0)a11(x-x0)2+2a12(x-x0)( y-y0)+a22( y-y0)2=0, 式中(x0, y0)为二次曲线的中心。,证明：设(x, y)为渐近线上任意一点，则曲线的渐近方向为：,X:Y = (x-x0):( y-y0),所以(x-x0, y-y0)=0,即：a11(x-x0)2+2a12(x-x

51、0)( y-y0)+a22( y-y0)2=0,例2 求二次曲线 x2-3xy+2y2+x-3y+4=0 的渐近线。,解法一：由, 解得中心为C(-5, -3),由(X, Y )=X 2-3XY+2Y 2=0解得渐近方向为:,X1:Y1=2:1, X2:Y2=1:1,所以渐近线方程为:,即x-2y-1=0, x-y+2=0,解法二：同解法一求得中心为C(-5, -3)，,由上题得渐近线为：,(x+5, y+3)a11(x+5)2+2a12(x+5)( y+3)+a22( y+3)2=0,或(x+5)-2(y+3)(x+5)-(y+3)=0，,即x-2y-1=0, x-y+2=0,定义5.3.1

52、 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.,定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.,5.3 二次曲线的切线,定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,

53、y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.,推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：,例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程,解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/20, F 2 (2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在 点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0,(1),（2）,的交点.,与过点 且具有方向 的直线

54、,5.4 二次曲线的直径,1. 二次曲线的直径,在5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交 的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方 向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，,两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.,现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.,求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.,即 ，,解,设 是二次曲线的一个非渐近方向，,那么过 的弦的方程为,它与二次曲线 的两交点(即弦的两端点) 由下列二次方程,(1),从而有,(5.4-1),两根 与 所决定,因为 为弦的中点，所以有,这就是说平行于方向 的弦的中点 的 坐标满足方程,即,(5.4-

55、2),或,上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若,则,一条直线.,(5.4-3),所以(5.4-3)或(5.4-1),是一个二元一次方程，它是,反过来，,这与 是非渐近方向的假设矛盾，,(5.4-1),定理 5.4.1二次曲线的一族平行弦的中点 轨迹是一条直线.,(5.4-1),那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，,(1),点 就是具有方向 的弦的中点，,因此方程(5.4-1)为一族平行于某一非渐近方向,的弦的中点轨迹方程.,得到了结论定理！,下面引进二次曲线直径的概念,定义 5.4.1,二次曲线的平行弦中点的轨迹 叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫 做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于 平行弦方向的直径.,（5.4-4）,有多少条直径?,中心与非中心二次曲线的直径,1. 中心二次曲线,中心满足:,(2),(3),直径方程:,所以, 直径过中心.,所有直径都过中心,1. 非中心二次曲线,非中心二次曲线满足,(2),(3),又分两种情形,或,无心曲线：,直径平行渐近方向,因直径方程