微分方程的基本概念,一阶微分方程.ppt

1、常微分方程及其应用,一、微分方程的基本概念,二、可分离变量的微分方程,微分方程的基本概念 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,四、小结,引言 新产品推销速度问题（一种新产品问世，如何采取有效措施，使得产品销量增大，以 获取更大利润的问题）、生物种群数量变化问题（某生物种群在其适应的环境下生存，讨论分析该生物种群的数量变化情况的问题）、传染病传播问题（描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来的问题）等都会用到著名的马尔萨斯（Malthus）模型( 为常数):,一、微分方程的基本概念,观察模型，易发现（1）式是含有未知函数导数的方程,定义凡含有未知函数导数 (或微分)

2、的方程，,称为微分方程，,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.,注意：本书仅讨论常微分方程，并简称微分方程.,( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；,都是微分方程，,其中最后一个是偏微分方程,定义 微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，,那么这样的解称为微分方程的通解在通解中若使任意常数取某一定值，或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的解称为微分方程的特解确定通

3、解中任意常数的附加条件称为初始条件一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.,例1 验证 y = e x + e x 是方程,y + 2y + y = 4e x,的解.,解 由 y =e x + e x 得，,y = e x - e - x,y = e x + e - x,将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有,(e x + e - x) + 2(e x - e - x) + e x +e x =4 e x ,即函数 y = e x +e x 满足原方程，所以,y =e x + e x是方程,y + 2y + y = 4e x的解.,得 C =1/3，故所求特解为 y = 1/3x3

4、 .,解 由 y = Cx3 得,y = 3Cx2,将y及y代入原方程的左边，,有 3Cx3 - x3Cx2 = 0，,即函数 y = Cx3 满足原方程.,又因为该函数含有,一个任意常数，所以 y = Cx3 是一阶微分方程,将初始条件 y(1) = 1/3代入通解，,例2 验证,是方程3y- 的通解,并求满足初始条件 y(1) = 1/3 的特解.,的通解.,引例已知一条曲线在任一点 P(x, y) 处的切线斜率为 ，且过点 (1, 2)，求此曲线方程.,解 设所求曲线的方程为 y = y(x)，,根据导数的几何意义及题设条件，,得,二、可分离变量的微分方程,将（1）改写为,两边积分，得,

5、化简得,此外，易看出y = 0 也是方程的解，所以,即C2 为任意常数,故而方程的通解是,将（2）式代入上式，得,所以，所求曲线的方程为,称为可分离变量的微分方程.,定义,分离变量法：,(1) 分离变量,(2) 两边积分,两边积分得,所以方程的通解为,(C 为任意常数).,分离变量得,对于积分后是对数的情形，按理都需作类似于上述的讨论为了避免不必要的重复，今后对于积分后是对数的情形都作如下简化处理（以引例作示范）,例3 求方程 (1-y2)dx + (xy-y)dy =0 满足初始条件 y(0) = - 2 的特解.,解,分离变量，得,两边积分，得,即,所以方程的通解为,（C为任意常数）,将初

6、始条件 y(0) = -2 代入，,得 C = 3.,因此所求特解为,练习1,解分离变量得,即,两边积分，得,经整理，得方程的通解为,也可写为,方程,称为一阶线性微分方程，,其中P(x)、Q (x) 都是x的连续函数.,当Q (x) 0时，方程(1)称为一阶线性齐次微分方程；当Q (x) 0时，,(1),方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程,三、一阶线性微分方程,都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的,当Q (x) 0时，方程(1)是可分离变量的,分离变量，得,两边积分，得,1. 一阶线性齐次微分方程,即得一阶线性齐次微分方程的通解公式：,例4求方程 (y - 2xy) dx + x2dy

7、= 0 满足初始条件 y|x=1 = e 的特解.,解将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,将初始条件 y(1) = e 代入通解，,得 C = 1.,故所求特解为,当Q (x) 0时，与齐次的情形相对照，猜想方程（1）的解为以下形式,（2）,两边求导，得,2. 一阶线性非齐次微分方程,将 y 及 y 代入方程（1），得,代入(4-3)，即得,一阶线性非齐次微分方程的通解公式：,说明：通解公式的不定积分式表示被积函数的一个原函数.,上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，,再通过确定C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.,解 运用常数变易法求解,将所给的方程改写成：,不难求出齐次方程,设所给非齐次方程的通解为,例5 求方程 xy + y = cosx 满足y( )=1的特解.,将 y 及 y 代入该方程，得,因此，原方程的通解为,解运用通解公式求解将所给方程改写成,所以方程的通解为,例6 求方程 的通解.,解 运用通解公式求解,将所给的方程改写成下列形式：,练习2 求方程 2y - y = ex 的通解.,代入通解公式，得原方程的通解,四、小结,微分方程的基本概念 （阶、解、通解、