基于第二代小波变换的滚动轴承故障诊断方法与实验研究含程序
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通过简单的奇点逼近基于小波变换的信号去噪方法摘要：在本文WISDOW（基于小波的图像，并通过重叠波信号去噪）。它包括一个使用小波去除噪声的新模式。其主要特点是一个噪声信号作为干扰波的小波域的表现基本原子组成的造型。信号恢复，然后通过重叠的效果在每个规模水平的原则进行。早期的理论和实验结果表明该模型的巨大潜力。关键词：图像和信号去噪；小波变换；重叠效果的原则；维纳滤波1. 介绍 在过去二十年来的巨大数量的研究一直致力于信号与图像去噪。它包括从嘈杂的版本克，即恢复讯号f G = H * F + （1）其中H代表模糊（在下面，我们将假设H = 1），而是一个零均值高斯噪声方差2。小波变换在文献中提出的各种有效方法，似乎是用于此目的的最强大的之一。是什么使得小波如此大的吸引力，是他们无论在质量和计算时间的有效性，以及一个简单而快速的实施。基于小波变换的方法，大致可分为两个广泛类别：衰减：小波系数衰减的信号信噪比会计。这种做法源于维纳开创性的工作，认为最优线性滤波器设计高斯信号1，定理10.2;选择：小波系数选择一个普遍的门槛。这种方法比前一个更近。它是由Donoho提出的优雅制定支持2 3，面向减少保留嘈杂系数的概率。尽管如此，上述战略很大程度上依赖于小波变换的几个系数在压缩信息的能力。一方面，选择试图减少醒目由于噪声系数的概率。另一方面，的衰减试图对角化信号相关矩阵。不幸的是，后者的属性可以只是使用卡亨南 - 拉维的高斯信号到达（的K-L）变换1，第10章。此外，K-L变换通常是计算非常昂贵。因此，已经达到对角化的经验尝试，目前正在研究为基础“的战略或匹配的追求1，第9章。再次，他们只是比信号的限制类通常波基。因此，最近的研究已经基本上采取了两个方向。第一个目的是为特定类别的信号引入的新基地。脚印，由Dragotti和Vetterli 4，代表了近年来的单维的例子。他们是在小波域模型的小波系数由原始信号的间断点生成尺度空间载体。即使这表示尝试利用小波系数间内规模依赖，它是能够很好的代表只是类分段多项式信号（平稳信号），将在2.4节深入讨论。在二维（2D）的情况下，新的基地，利用达到压实最优的图像的几何特征。一些例子：curvelets，斯塔克等人提出的。 5，这给具有C2连续性曲线的二维分段光滑函数最佳逼近; contourlets，DO和Vetterli 6提出，可以考虑一个灵活的第一个离散的演化; edgeprints，由Dragotti介绍7 vetterli中，这是一个二维的足迹扩展，并能够代表二维的分段多项式信号;和更近的bandlets，乐Pennec和的Mallat提出8，图像的几何流，即当地的方向图像的灰度水平，其中有规律性的变化。这一理念，似乎是对于去噪变分模型的：要保存的几何特征包含在广义热方程的电导（长期看，例如9 10 11和平行12）。然而，去噪研究也采取了第二个方向。这是面向使用自适应计划，以改善衰减和选择战略。基于选择的方法，尝试优化就业门槛的适应性。最具代表性的作品是由Chang等人提出的一个。 13，像素的信号方差明智的上下文建模方法估计可以计算出最佳阈值接近最佳逼近。事实上，上下文建模技术允许组像素的性质类似，但并不一定空间相邻，收集统计资料，从他们的形象。 衰减方面，很多经验做法，尝试达到设计维纳滤波的信号有些干净的逼近。几乎所有的人承担一定的信号相关矩阵或地方统计得到的小波系数的高斯分布。举例来说，最大的可能性是受雇于由Portilla等。 14 15，而最大后验概率规则通过由Mihcak等。 16。其他算法，试图改善先前的结果，同时使用不同的小波基地，例如17 18。 最近，一些学者试图利用组合的选择和衰减。例如，财和Baraniuk 19表明，在一个固定的小波基设计使用一个不同的阈值信号的衰减系数。一个平衡的选择，这两个基地，使我们能够减少逼近误差（不匹配的错误），20中证明。最近，Kazubek证明，维纳滤波，可总是首先阈值的提高21在同一基础上的噪声信号。 所有这些经验算法对原始信号的规律的正确选择小波基22需要一些假设。另一方面，每个小说的基础上有其自己的应用领域，也就是说，它是在或多或少有限的功能类最佳。 本文的贡献在于提出了一种完全不同的战略。而是寻找最佳的代表性的基础上，我们修复的基础，那么我们尝试代表全类的信号作为孤立的和基本的奇异组合。利用重叠效果的原则，这是可能的。换句话说，一个信号是仿照作为孤立的干扰波的小波域的重叠。理论成果为实现更好的性能比硬阈值策略的约束。此外，实验结果表明，信号和图像相比，具有更近的和有效的技术。 纸张的大纲如下。第2节，随着其理论和实践方面的一些细节提出WISDOW代表性。所提出的方法在本质上是单维。因此，一个可能的适应图像去噪研究在第3。最后，讨论和结论是画在第4节。2该模型 如上所述，首次尝试打破去噪问题的建议。而不是寻找最好的一个信号分解的基础上，依据是先天固定和一个孤立的和基本的奇异的恢复研究。结果，然后扩展到更广泛的信号类。因此，该模型是独立于所选的小波。 无限斜坡（见图1）被选为最简单的，孤立奇点。它被定义为 （2）其中t0是奇点的位置 这是小波变换在时间u和尺度s，使用选定的基础，图1 在t0无限斜坡信号有一个奇点这是小波变换在时间u和尺度s，使用选定的基础使用变量的变化Z =（TU）/ s和的零均值的财产，即式。 （3）可以写成如下：最后，使用变量的变化，t =z和t=（t0-u）/s，其持有：图2描述Wf（u，s），式中描述。 （4）。据计算，使用1双正交小波（rbio2.4在MATLAB符号，图3） 方程（4）可以很简单改写为重要的是要注意到K只取决于小波和奇异位置t0。因此，它是无限有不同坡度的坡道。平凡的奇异位置t0是位于WF绝对模最大的通信。为了简化符号，从现在起标将被省略图2。小波变换在一个固定的尺度s图无限斜坡图1。通过基础（Matlab中的符号，在图rbio2.4 图3）的双正交小波变换的计算。2.1 嘈杂的情况下现在让我们考虑嘈杂的无限斜坡G（T）= F（T）+（T），其中是高斯噪声（见图4）。让工作组（U，S）是它的小波变换。在一个固定的尺度s，原始信号的恢复取代WG嘈杂系数。这可以用式。 （5）。代表斜坡1，这简直是从喧闹的数据，使用最小二乘法（见图5）取得的估计。图4。嘈杂的无限斜坡信号。图4。嘈杂的无限斜坡信号。图4。嘈杂的无限斜坡信号。图5。小波变换在图的无限斜坡信号。在图 1（虚线），图的噪声信号。在图 4（实线）和德含噪信号，使用该方法（虚线）。图6。实线：分段多项式信号t0有一个奇点。它是由一至t0常数函数和从t0上的第二个多项式。虚线：无限斜坡信号。现在让我们来分析一类更广泛的信号。他们可以得到一个通用的多项式函数p（t）图所示，直线代在无限斜坡。在图6。通过上述策略可以恢复甚至这些更复杂的信号。事实上，简单的计算，它只有高阶多项式函数的系数估计23。尽管如此，由于多项式函数的程度是不是先验已知的，这是不可能的，选择合适的功能，使用最小二乘估计。 我们克服了这个问题分裂成一阶分量和剩余多项式函数P（T）：它接近一个线性函数p（t），然后利用这种功能所取得的成果。尤其是下面的语句可以证明（见附录A）：是一个分段多项式函数，在T0，其中P1是一个常数函数的奇异性，而P2是一个多项式N，和定理1：让（t）为小波母函数和h其支持在一个固定的规模级别s的长度。 分别是小波变换的的多项式功能f（t），1度的多项式方程高斯（t）。此外，让=是由于近似的p2（t）和r（t），和从喧闹的数据Donoho硬阈值估计误差，。如果这是微不足道的观察，始终持有无限斜坡函数定理1，自约束（8）成为。定理1的状态，它有可能也预测下，通过阈值的原始信号的系数。这意味着减少由于粗剪的信息，在选择阶段的涟漪。此外，小波系数建模与精确的功能，它试图要尽可能接近原始信号。显然，（8）约束逼近误差不显着的超过噪音。定理1的结果是基于假设，被称为奇异位置T0。这是真实的，是不显着时的噪音。当噪音高，可能会发生位移误差，那么它必须比以前的理论成果传播24。这是众所周知的，间接的措施，取决于一个直接的措施，M中号的的错误EM是其中m为m的错误。是在我们的例子，而t0是直接的，间接的措施。因此，（10）变为是奇异的位置T0的错误在哪里。因此，约束在定理1，（9）变为这个错误的精确计算是在附录B中的细节:如果是从噪声数据的最小二乘意义上的实现，仍然是有效的约束（8）定理2 让被估计在的基础至少从噪声数据平方米感Z（u）= P（U）+（U），然后和定理1一样。此外，证明是附录A中，如果我们明确地近似使用（7），从小波变换的线性，定理1的假设变得。其中Q是小波变换的残余部分q（t），在图（7）中。这是值得进一步讨论通过近似的。小波变换信号，不仅有助于解决奇点的位置，在图6中。因此，小波变换的多项式函数不能强烈不同的线性函数，因为它从图 7出现。原来，较小的小波支持，更可以忽略不计图（7）中的逼近误差。事实上，真正的行为是一个比较复杂的，我们将在2.3节回来。查看缩略图8显示了在小波系数多项式的信号已通过该方法的估计从嘈杂的定额水平。请注意，周围的奇异位置的噪声几乎完全隐藏原来的。尽管如此，它是几乎完全重建使用建议的近似，因为相应的误差小于高斯噪声方差和小波支持是足够小。图7，小波变换图所代表的信号。图6，多项式信号（实线），无限斜坡信号（虚线）图8。（左）噪音多项式信号（实线），用于其近似无限斜坡（虚线）。 （右）小波变换信号：噪音多项式（实线），原始信号（虚线）和降噪后的信号，使用该方法（虚线）。2.2重叠效果 到目前为止，我们只处理孤立奇点。不幸的是现实世界的信号是不是这样的。此外，孤立奇点往往干涉规模水平的提高，越来越多的。换句话说，它们之间的距离小于小波支持水平（图9）在一个固定的规模。事实证明，在一个固定点（U，S）的WF（U，S）是各种不同的奇异组合。因此，我们提出代表重叠孤立奇点的贡献，在每个规模水平，利用小波变换的线性的复杂信号。换句话说，有非孤立奇点的信号被回收利用的重叠效果的原则。图9，阻止测试信号（顶部）和五级水平的小波分解。在规模的最好水平，可以很好地区别每一个间断的贡献，而他们较少在较粗规模各级清楚。查看缩略图图像，为了强调这一点，让我们考虑一个有限的斜坡信号。它描绘图 10和它的方程是：它可以写成如下定义的两个无限斜坡的总和：where =+, =1+ and =1+2.图10。在T1和T2有限斜坡信号的奇异点利用小波变换的线性度，它导致Wf= Wf1+ Wf2。此外，t1更多的办法t2，Wf1支持相交Wf2的一个。换句话说，两种不同的基本奇异小波表示两个干扰波沿着规模水平（见图11）。这是值得勾勒的重叠效果的原则，只是在每个规模水平持有。它不能适用于整个规模水平，因为极大的振幅值和它们的位置移的增长。图11。小波变换有限斜坡信号（图10）。从第四的规模水平上，重叠的效果是可见的。见顶信号，甚至可以使用这种分解图12。事实上，它们仅仅是两个方面共同的奇异位置对称的无限坡道组合。此外，这些信号可以用于更一般的开发式逼近（7），见图12。图12。线性见顶的信号（实线）;多项式见顶的信号（虚线）。请注意，第一个是两个坡道到t0对称无限的总和。分段常数的功能，可以模拟为两个或两个以上的无限斜坡信号的组成。例如，一步步的功能是有限的斜坡，斜坡1等于无穷（见图13）。更确切地说，它是在t1和t2，t2接近t1时的位置有两个干扰基本奇点的结果。事实上，因为它来自图。 11和13两个奇（t1和t2）作出相同贡献的一步信号干扰到更多的同规模水平和更多。图13，步功能（左）及其小波变换（右）在一个固定的规模水平牢记上述的意见，很显然，干扰信号恢复过程中不能忽视的。事实上，接近两个或两个以上的奇异点，较高的一个单一的估计错误。在下一节，本声明的严格附录C计算，提出了简单而有效的方式真正运用上述结果。2.3 该算法在前面的章节中提出的模型被称为WISDOW（基于小波的图像，并通过重叠波信号去噪）。恢复使用WISDOW嘈杂的信号g算法在本节中详细描述。在每个规模水平的小波子带独立处理让我们考虑过完备小波分解1在嘈杂的信号g。过完备的代表性，以避免出现问题，由于抽取。事实上，这种操作不可避免地导致一些失真图的形状。 2。特设d是在一个固定的规模水平和r的含噪，初始化为零嘈杂的细节系数向量。故别是，抽取不同阶段（偶数或奇数）影响原子的对称性。（1） 执行对D使用Donoho通用阈值T的硬阈值3。（2） 对于每个域紧凑DK的阈值带，如图。 14，计算模极大值MI。从现在起，只有正系数将予以考虑。为负的最大和最小的作用则正好相反。图14。例如，域Dk和II（见2.3节的详细说明） （3） 检查的干扰。对于每公里DK，单这样出相关领域II：（a）如果有没有DK极小，然后IIDk的;（b）如果只有一个的Dk最低，然后是第二常见的极值与Dk和另外一个发现的最低位置（如图14）;（c）如果有一个以上的Dk最低，然后II极值对应的位置，最接近的（认为公里），发现左，右的最低。（4）是M = MI MID。依次排序米。（5）最小二乘估计。从排序中号的第一个元素，每个元素公里：估计系数1使用属于相关域II的样品;（5）相对于选择在其影响锥极值计算功能;估计函数添加到R减去阈值向量d。这是值得概述的数据数量较大的，更好的最小二乘估计1。原来，每个最大的域名II一定要大。然而，在域（7）为保证近似的有效性也相当小。然后消失小波的时刻有一个很好的权衡之间，以满足上述要求。此外，在该算法中，我们假设与一个相应的模极大值，奇异位置重合。这个解决方案是相当低噪声满足，否则平均II的系数位置，可能会导致更为有效。战略考虑可分离，即1和T0独立管理的问题，使简单的执行。2.4一些注意事项乍一看，建议的做法似乎是非常接近的脚印近似4。这源于一个事实，即他们分享相奇点的小波系数的行为建模。然而，尽管脚印正是逼近分段多项式信号，WISDOW企图通过原子在图近似任何奇异的设计。 2。即使后者可能显得不那么有效，随着重叠效果原则的战略使我们能够轻松地管理干扰，即脚印的基础上，克服了双正交。主要后果是小波分解的最大规模水平上缺乏额外的限制，如发生4。事实上，在后者最接近的连续性考虑信号之间的最小距离被占。连接在一起系数在所有规模的水平，这是必要的。但这一刚性约束，减少脚印的有效性，在近似真实世界的信号。相反，WISDOW是能够分裂信号去噪在规模和空间的问题。更确切地说，去噪可以独立地在每个规模水平。此外，在每个规模水平的信号可以有效地分割的基本原子。例如，一个足迹总是可以分为两个基本的原子，如2.2节中的步骤功能。最后，在规模可分允许WISDOW是某种独立的信号规律。事实上，脚印，即使是能够管理平稳信号，有残余。当近似的连续性是通过字典，刚性的足迹规模的依赖产生失真。显然，它有可能字典放大脚印。但是这需要巨大的额外的计算，根据匹配的追求。 WISDOW是快，易于实现在每个规模水平的局部逼近。2.5单维的结果之前提出的实验结果，给出了一些实施细则。一个双正交小波（在MATLAB符号rbio2.4，见图3）关联到过完备的多分辨率分解已通过所有测试。正如前面所述，该算法是独立波基的选择。然而，漂亮的对称性和支持这一小波的宽度属性，使得它清晰演示了该模型的吸引力。阿四的规模水平分解已用于恢复1D信号。WISDOW已执行几个测试信号。为了突出它的潜力，它已与一些经典的去噪算法，如软，硬阈值和维纳滤波，比较。一些关于一维信号的恢复结果如图。 15和表1。一个分段多项式信号，如1第10章，已被选定为比较理论和实验结果。此外，这种信号组成的跳跃不连续，因此，它是适合测试奇异干扰。事实上，每一个间断点建模为两个或两个以上的基本原子叠加。它几乎完全可以通过重叠效果的原则重建，如图所示。 16。更确切地说，每个模极大值一直被视为最有代表性的一个固定的无限斜坡。其相邻的干扰奇异的贡献减去估计认为奇异的斜坡样本。然后，一个更好的模型，就可以实现。图15（五）分段多项式信号：（一）原始信号;（二）噪声信号（信噪比=20.37），（三）硬阈值的信号信噪比（SNR=26.88），（四）软阈值的信号信噪比（SNR=23.93）;维纳滤波估计（SNR=24.18）和（F）WISDOW估计（SNR=31.40）。表1.Piecewise多项式测试信号（图15（a）项）：信噪比（信号噪声比）值之间的WISDOW和一些经典的去噪方法的比较。维纳滤波已使用MATLAB功能wiener2的实施。图16。座Donoho的测试信号的细节：去的含噪小波系数（灰色）使用WISDOW的。他们都与原来的（虚线）和嘈杂（固体）的比较。最后，它是值得概述，WISDOW还预测，其价值是根据采用的阈值系数。这就是为什么间断点周围的涟漪强烈减少看到例如图17。这保存甚至严重嘈杂的环境。 图17。（一）分段多项式噪声信号（SNR= 8.30）;（二）硬阈值的信号信噪比（SNR=17.71）;及（c）WISDOW估计（SNR=19.89）。图17（一）分段多项式噪声信号（SNR= 8.30）；（二）硬阈值的信号信噪比（SNR=17.71）;及（c）WISDOW估计（SNR=19.89）。正如前面所述，该方法在本质上是单维。然而，2D波基有一个很好的可分性。后者使我们能够独立处理的细节子带的行和列。更确切地说，多分辨率分析的函数F（X，Y）L，（R2）的对应，以扩大它的职能是由产生一个可分离的基础。其中是一个母小波，而其缩放功能25。 1，1，2和3，分别产生近似，水平，垂直和对角线组件（见25）。换句话说，行和列在打开使用低通L和高通过滤器函数，在计划图描绘处理图 18。图18。多分辨率的图像一，L和G计划抽取低通和高通滤波器，D，而D，V，H和分别是对角线，垂直，水平和逼近子带。因此，嘈杂的横带和嘈杂的垂直一的每一行每一列可以在每个规模化水平作为一个独立的一维信号处理。由此产生的一维信号可以使用在2.3节中描述的算法消噪。对角线细节方面，行和列进行处理。显然，这是最简单的方法，以适应该方法的二维情况。尽管如此，仍然有可能实现这一结果的替代方法。例如，WISDOW可以嵌入在最近像curvelets一些方法，它代表了试图克服小波2的内在1D性质。观察多分辨率的计划使我们能够改进建议去噪算法。事实上，逼近波段可用于更好地计算参数1最小二乘估计。如果式。 （3）母小波被替换为尺度函数，在一个固定的规模水平的结果相应的近似组件。在这里 和再次，斜坡1可以使用奇异位置周围嘈杂的近似分量最小二乘估计估计。如果，分别表示小波细节和逼近组件实现的估计，然后重构信号的最终价值，将是他们的加权平均，即。根据噪声的能量分布在不同规模层次的的重量A和d是调整。由于噪声信号的形状，在较低的频率接近22，A将大于d。3.1。二维的结果WISDOW一直比较图像去噪的一些最新和最有效的方法。作为测试图像，5125128位，莱娜已经被选为（图19A）。一个规模水平小波分解已为WISDOW就业，并已分别分配的的重量A和d。为了更好地介绍和讨论取得的成果，已被证明在比较三个不同的数字。在这种情况下的PSNR（峰值信号信噪比）已被使用。图19（a）原始Lena图像（）（二）噪声图像;及（c）德 - 含噪莉娜图像使用WISDOW。 图20描绘的衰减为基础的方法，即15，1626，2728和维纳使用MATLAB功能wiener2的的过滤。图。即AdaptiveShrink21WISDOW已被选择为基础的方法相比，13和古典软2，硬3的阈值。最后，图。接近22显示两种策略相结合的基础上，即19，1721。图20，PSNR值与噪声15方差，16，26，2728，wiener21和WISDOW图21。与噪声方差PSNR值13，硬3和软2和WISDOW。图22 对噪声方差PSNR值191721和WISDOW值得一概述，去噪方法的PSNR值已采取从原来的文件，除2 3，19 28。前两个方面，已使用MATLAB函数，而在过去两年已直接实现。自28一些实施细节丢失，试图安排参数计算，根据工作结果。特别是，小波系数的衰变已计算的平均估计在一个固定频段的信号方差极大的衰减。至于衰减为基础的方法，WISDOW位于中间位置，但其复杂程度低于更有效的方法。相反，作为关注的选择，它执行略高于13差，即使在其“粗”的版本。事实上，通用Donoho阈值已受聘在WISDOW为了提供一个完全自动的算法，并进行比较更客观。事实上，一些测试已经完成乘以一个参数通用阈值T，2和1的建议。结果改善，但强烈取决于分析的图像。最后，WISDOW比衰减和选择相结合的基础上的方法实现了更好的性能。这是值得强调的一些测试工作已经完成，只有在执行对角线细节的行或列的一维算法。 PSNR值略微改变。这种变异时，可以成功地应用于需要较低的复杂性。 WISDOW数值实现方便，快捷。非常简单的操作要求，因为它是唯一的一个参数进行最小二乘估计。事实上，它需要先验知识式，波函数的优势。 （5）。总结，WISDOW有以下的复杂性：硬阈值的步骤，其中N是嘈杂系数为O（N）;为O（| M |）局部极值计算，其中|男|数量超过阈值T的系数;为O（|二|）J为最小二乘估计，其中J为相应的检测奇异性和J M的北路极值扩大后的Lena图像描绘图。 23。它可以让我们视觉评估WISDOW表演。可以注意到，各种奇异的是，没有恼人的铃声作为一维信号（参见图15）所示的效果，恢复。图23 Lena图像放大：（一）原件;（二）喧闹;（C）的含噪使用WISDOW最后，我们还研究如何用嵌入式WISDOW衰减为基础的计划。这一战略来自精确地估算干涉奇异的参数1的难度。在该算法中，我们管理从小波系数最低的最高纪录。这一战略使我们能够简单地减少失真，见式。 （C.4节）。因此，一个完善的战略包括使用WISDOW输出作为一个干净的信号维纳滤波的初步估计。实验结果表明，这种变异获得对原计划的约0.5分贝。有趣的是，要注意，这一战略是对地区更有效的Lena图像更有质感的帽子上的羽毛实例。事实上，在这些地区的新策略，获得超过1分贝。进一步增益可以实现维纳滤波逼近带过。这是协议的一些理论结果证明，规模水平的提高，噪音平坦（见1，第139页）。这种变异使我们能够达到一个额外的0.5 dB。图24所示，WISDOW嵌入上述两种变异优于所有的最有效的去噪模型，除了15。不过，后者是计算更昂贵，因为它是基于对非线性最小。图24。 13，26，16和15和改良WISDOW与噪声方差的PSNR值4.结论与讨论在本文WISDOW，信号和图像去噪的一个新颖的模式，已经提出。新奇的工作，包括代表原始信号作为干扰波的小波域奇异。已利用小波变换的线性和重叠的效果原则。理论结果表明，WISDOW可以达到逼近误差小于硬阈值策略。此外，实验结果证明，其性能可达到最有效的技术所达到的水平。然而，一些工作需要更好地管理当地的奇异干扰。此外，一个大的改善，将完成通过搭售规模水平的信息。硬阈值的步骤，以这种方式可以从该算法中删除。事实上，它现在仅用于计算的目的。它使这些系数由噪声损坏的概率很高的选择123。这一步将成为多
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