基于APDL语言的机床滑枕结构优化设计说明书
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基于旋转自由度下轴对称实心回转体的有限元Craig S.Long, Philip W.Loveday, Albert A.Groenwold摘要：新的两种需要环型纤维圈的实心回转体轴对称有限元将已经介绍过。第一种是在一种特定的状况下只允许单独的位移和旋转；第二种方法基于类似公式化的Hellinger-Reissner变分原理，支持更多的假设应力场。此外，一个因素的校正往往受雇于膜分子钻井自由度，它是为了减轻膜弯曲锁，那样才是适应了轴对称情况。补充介绍的是这里旋转交点有助于加强模型的承受能力，例如促进轴对称壳和实体模型之间的连接。比较先前提出的内容，新的内容被证明是正确的并且能够解决一些常见的问题。事实上在气缸内部压力的分析我们使用常规网格，我们用混合元素方法精确预测位移的现象称之为超收敛。新的元素在解决若干弯曲为主的问题方面显出它的鲁棒性和准确性。关键字：轴对称 有限元 旋转自由度1 引言最近一段时间平整外壳的平面旋转自由度有限元变得越来越流行。除了丰富的位移方面外，还有不断增提高元素的精确性以及模型钻井深度。比如折板与梁的相交问题。与推动回转自由度下的轴对称元素的发展相似，环形纤维回转自由度在实心回转体轴对称元素方面是可以借鉴的。为了包容他们与轴对称外壳元素的联系，以及本文所指的提高位移差值的所有优点都与平面状况下相似。早期研究钻井自由度进展的基本困难已经被Hughes和Brezzi1攻克了。他们提出了一个很严格的数学框架，在这个框架下定义了那些类似的元素。他们在Reissner 2的工作的基础上提出修正变分原理，并有了离散状态下稳定性的改进。早期有限元的应用按照Hughes和Brezzi方法（在Cartesian坐标下）。这个是从Hughes et al. 3和Ibrahimbegovic et al. 4,5总结出来的。混合/杂交膜有限元在最近几年显得也同样重要。自从Pian 6提出假定应力有限元模型，大量的公式也相应被提出。所有的公式被Pian 7汇编而成，最终假定应力公式应用在计算单个元素约束下的钻井自由度。对比在Cartesian坐标下有限元的发展，在cylindrical坐标系统下的轴对称有限元的发展则显得相对缓慢。除了那些制约以外，元素在几何上的定位和边界的包容性都可以模型化。发展速度放慢的原因大概是由于平面元素到轴对称元素直接延伸的困难。比如，类似于压力的交错坐标网络系和直接映射在平衡方程的位移系统，以及应变位移映射，等等一系列的复杂度都增加了！出于本次讨论的目的，在变式原理的基础上可以把轴对称有限元进行分组。比如好几个学者利用Hu-Washizu函数推到精确的元素。他们当中比较杰出的是Bachrach and Belytschko 13，他们利用GrammSchmidt相交投影法确保只有在块-对角相互转换的情况下的刚度矩阵要求，从而减少计算量。Wanjia和Cheung14在早期努力15之后旨在一个无规则和完善混合四边形对称元素，他们推导一个包括无序位移在内的通用的函数，最近，Kasper 和 Taylor 16提出一个混合加强公式，这个公式是在Cartesian坐标下解决轴对称延续他们的前续问题。有些学者在HellingerReissner模型函数的基础上推出了一系列的公式。例如Tian 和 Pian 18 在Pian 和Sumihara 19推导的基础上为了解决轴对称问题他们合理的发展了假定应力有限元，不幸的就像在14指出的那样从没通过过补丁测试。Sze和Chow 20在“演绎犯罪”（在应变位移映射下利用简化Jacobian公式）的基础上引入了一种不完全元素。这个元素，这个元素以后被变形的HellingerReissner原理修改，并且运用自由化组合加以简化。最终好多学者在组合轴对称元素上把HellingerReissner原理通用化。Zongshu 22 利用传统的HellingerReissner模型发展了一系列的轴对称实心元素。假定应力领域被定义在全面坐标下，是为了满足平衡和安排适当的元素以及在轴的径向对称性方面关于共同坐标系的转换。 Weissman和Taylor 23在HellingerReissner函数的基础上引入两种元素，采用的是比较流行的HellingerReissner插值法，这些插值不断修改直到在轴对称的基础上遵守正确的秩。都是在环形压力下的局部坐标的向量插值。是在全局坐标下的插值。Renganathanetal.24等等假设的杂交应力元理论，是在最低7-参数和满足平衡兼容性的全局插值基础上提出的。Mostrecently、Jog和Annabattula25推出一个混合轴对称元素发展程序，这种发展是在局部坐标下的应力插值为减少一体化的0-能模型从HellingerReissner变分原理。本篇文章讨论的目的是延伸现有的工作平面膜分子元素，那些元素是存在扭转轴对称的钻井自由度，更深的一层，为了证明正确，准确的益处保持在接近极限的不可压缩。我们介绍一种在旋转自由度下的混合元素（在假定应力的条件下），满足于类似的HellingerReissner函数。2 问题描述 我们继续往下深究，就像在26指出的那样，在一个封闭的领域用一个三维机构定义，包括并且的域是由确定。的衡量用V，的衡量用S，是向量空间与欧氏点空间，是从内到外空间的所有线性应用，它们包括AB=tr(B),A,B ，其中是A转置矩阵（见26）。参考了的子集，叫做和是在内分别对称和斜对称张量。 的边界分成两部分，和，并且，以及。在内位移是确定的，而在内是确定的，讨论仅限于线弹性问题和边界条件其余的都省略。然而边界等等的状况则纳入标准的方式像在4,2729中描述的那样。在最一般的情况下应力张量（为先验假定为对称），位移矢量场u，斜对称微旋转张量，而应变张量是作为独立的变量。变式需要旋转张量、应变张量和应力张量，连同位移的导数，属于空间的平方可积函数的区域。用i，e来分解欧氏第二阶张量。 （1）其中 （2） （3）这个问题现在正在考虑如下建设：假设f为力的矢量，的关系如下：div, （4）skew=0， （5）skew， （6）symm （7）symm （8）在上面，并且其中c是弹性张量，等式(4)(8)分别是线性和角动量平衡方程、旋转定义方面的位移梯度、梯度应变的兼容性和结构方程。现在假设圆柱坐标系，应变张量包含如下元素： （9） （10） （11）循环的组成部分是由连续的力学状况决定的：（12）然而假定无扰力下的轴对称，那些关系就可以假定如下： （13） （14） （15）且： （16）在后续的章节，这个问题将体现在不可简化有限元公式中，不过它们需要独立的位移和旋转的情况下。第二种元素，基于类似HellingerReissner公式化的应力也是可以的。3 不可约元素的旋转自由度在本文将介绍不可约元素的旋转自由度，本文中“不可约”指的是最低数量的独立假设领域，就像 在等式。由此产生的元素每个节点有3个自由度。两个位移的和一个旋转自由度。代表纤维箍旋转纤维的切线。 旋转自由度的元素变式详情在本文不提及，因为更深入的讨论已经在段1中可以找到。相反只有从元素推导到的公式这里才提及到。3.1 变化公式运动独立变量的可约束函数可以写成如下形式：（17）由所产生的变分方程可做如下证明： （18）3.2 有限元法在本篇文章中强调的是有限元的插值受约于变式的区域，它只单单需要独立的翻译和箍旋转领域的插值。例如一个四边形元素的自由度如图1描述的那样，参考元素的表面是这样描述的： （19）式中x指的是坐标(r,z)并且等参形函数30，独立旋转领域是以标准双线性域的每个元素为插值的。 （20）rz(平面)元素的位移近似视为奥尔曼型插值，与膜分子等等的推导类似5。 （21）其中和都指的是长度，并且矢量方向与J、K的角落节点的方向一致，并和一样都是偶形函数，由矩阵知识得到： (22)当中和分别是位移和轮换域的结点值，矩阵指的是： (23)当中例如位移插值与轮换域可做如下定义： （24）现在正在考虑的条件与斜对称部分位移梯度，我们首先指出： (25)当中： (26) (27)J,K,L,M的指数在(21)、(24)、(27)中都有定义，比如在5,31。上述定义，现在可以用于构造单元刚度矩阵的束缚因素。3.3 功能基础上的A4R有限元矩阵元素的刚度可由（18）推导出:当中 (28) (29)第一阶段矩阵刚度可以明确的写成写成以下： (30)考虑到位移插值式（21）和轮换（20）结合式自（25）可以推导出： (31)式（18）代表了第二个阶段，矩阵p是单点高斯积分的集成。通过整合K充分使用9点计划，并结合与P伪零能模式是可以避免的。图 1 这一要素取决于补偿参数，至于这个适当的值一直是大批学者研究的方向1,4,12,34,35。假设通篇取等于剪切模量，尽管这不是一个最优假设，请注意其中一个元素在斜对称部分的应力张量的保留也已实施，并且这一结果也可以从第一批学者那里得到解答。然而我们只考虑上述因素束缚才能得到片刻的欣喜。4 混合元素旋转自由度我们现在假设一个需要环形结的混合假定压力元素，一旦假设变式没有充分得到，那么就要在1,12中寻求。4.1 变式就像HellingerReissner的公式化，相应的函数也可以由下得到： (32)其中把第一个变量置零得到： (33)4.2 有限元计算由衍生的元素不仅需要位移和旋转方面的插值，而且需要附加假定应力场。由此插值和笔者在3.2提出的这里仍然适用，只是在本章节中更多的要考虑应力插值的细节问题。几乎所有的混合低阶平面的应力插值问题都得到解决了，在一定的团体下适当的插值已基本达成共识。与各种各样的办法和插值不断提议相比，轴对称的情况是非常不同的内容。有些作者在全面坐标下提出插值，如何选择应力场在柱坐标系的情况比在平面或固体元素的笛卡尔坐标复杂得多的。找到一个有最低数量应力模式的插值是不变的坐标系，并不会导致元素秩不足已经是很大的改变了。 附加的关系都与在圆柱坐标中的平衡方程有关。首先是必须对等条件的应力插值，这个插值已经变成了一个r 0的数学化问题，第二，正如Sze and Chow 20指出的那样径向和环向应力直接显示在平衡方程。其结果是先前或滞后的元素都是为满足满足平衡，出现假剪切现象由于耦合常数和高阶应力分量引起的。由于这些原因，我们在一个局部坐标系选择插值，就像 15,16,18,23,25 那样 。 以汇总表的形式，应力插值可以表示为元素参数，如下：symm= symmc+ symmh=+ , (34)其中： (35)是一个44矩阵和有四个相应参数，屯位的恒定应力须通过修补试验，变换矩阵由下得出： (36)这个是在Jacobian定义下与和r-z等等相联系的坐标系： (37)Kasper和Taylor 16提出平均雅可比计算变换矩阵T，但我们发现基于（36）表达的变换已经足够了。另外，一些数值成本可以通过矩阵中心元素在常数矩阵T得到减少。现在有各种可能性构建higherorder（非恒定）应力插值ph。不过严格致力于一个单一的选项。从本质上讲，我们通过Jog和Annabattula 25 建议的程序，这俩个人提出的选择插值函数，例如，零能源模式（与减少集成计划）都属于这当中。 在Sze和Ghali 11的论文中指出一种计划插值法，这是一种遵循Allman形状的平面有限元。类似Jog和Annabattula 25 ，我们捕捉与平面刚体转动（一模式有助于轴对称情况下的应变）相关的模型去附加Sze和Ghali的插值。具体来说，我们选择： (38)其中： (39)再次说明，J12和J22的值可以被局部坐标系下的内部值所取代。就zg的值而言，尽管Jog和Annabattula 25 已经提出他们认为这与Weissman和Taylors的破坏应力场有限元相似。这个应力场中的单元是全局下的插值其中b1、b2、b3是代表是在下的雅可比。他们提的两种方法我们几乎没发现任何差异。结果认为第六种选择下的zg值在式子（39）中是通用的。自然有许多其他插值可以讨论，但简短的说，我们只讨论一个插值。现在可能在上述的基础上使用假定应力场为纤维回转混合有限元构建刚度矩阵。4.3 基于函数的A4R元素把式（33）离散得到： (40)G,H矩阵采用它们的标准形式: (41) (42)在我们目前的执行情况看来，一个充分的9点高斯正交是用来判断G和H矩阵的，即使减少5点一体化的修改也足以制止虚假零能源模式。为了阐述力-位移问题的标准形式 (43)简单的说在元素的基础上使用静态凝结是必需的。具体来说，未知参数是压缩了，结果导致： (44)我们可以定义 (45)最终矩阵刚度变为： (46)当中由（45）式给出，而p值则综合了（31）式的统一规则。5 有限元应变校正通常情况下，定义平面旋转膜分子使Allman插值，采用了所谓的“膜弯曲校正锁” 12,31,36 。尤其是当膜元件用作一个平板壳单元的平面部分时。这一校正报告，以减轻膜（板）弯曲不良相互作用 36 。这个校正，由Jetteur和Frey 37 推导出 ，然而Taylor 36 进一步发展并修改了应变的定义（ 22 ）改为如下： (47)其中是在静态下扩大势能函数发现的： (48)当中和都是不间断的元素，从而使静态值能够得以进行： (49)从地灵敏度上讲，可以表达为： (50)这反过来又可以得到式（ 47 ）。这一校正让人想起了斑点最大允许值的验证试验，这些在不相容元素里很常见，例如 38 。由（47）式修改应变定义的净结果是，至少在低灵敏度的情况下，奥尔曼高阶部分插值被取消。结果是 ，通过斑点试验，尽管仅使用双线性插值计算的高阶位移插值受雇的一贯交点负荷，但处理显得简单了。然而，如果这种校正不考虑的话，斑点测试仍然可以通过。然而，充分奥尔曼插值计算需要的统一的节点负载，通常是在相关交点的相交处。在指定基本边界条件下边界可以得到在相关方面的延伸。在元素方面按照报告的计算结果都在式（47）或多或少提及。6 计算结果提出的元素正在被一系列标准测试问题所衡量。它们的表现是在若干现有的元素比较研究中得到的，这个结果来源于Wanji和Cheung 14收集的数据。元素的比较包括以下内容： A4: 标准的四节点等参数轴对称元素（例如见27,30）， LA1: 由Sze和Chow 20提出的四边形非协调元素， AQ4: 由Wu和Cheung39提出的四边形非协调元素， SQ4: Wanji和Cheung 15提出的普遍杂交元元素， HA1/FA1: 由Sze和Chow 20提出的杂交应力元素， FSF/DSF:由Weissman和Taylor23提出的混合元素，另外，本文指的元素是由下面定义的： A4R:基于函数下的不可约4-节点旋转自由度，刚度矩阵是由式（29）得到 A4R:在假定应力领域基于函数的4-节点旋转自由度，刚度矩阵由（46）推出6.1 数值分析 首先，一个规律的数值分析，畸形元素的提出是为了满足具有适当数量的零值。事实上，提出的元素满足要求的也只有单个的零特征值，与刚体转换沿轴向的径向对称。6.2 斑点测试 第二，每个元素都进行标准的斑点测试，Wanji和Cheung 14研究得出计算下的问题与斑点测试相似，在他们理论里提出边界位移（径向的）并且（轴的径向对称性方向），其中指的是泊松比，r指的是径向坐标。 图2描绘了任意网格用于斑点试验，稍微偏移的轴对称。我们的新的元素通过显位移，相当于显力的通过斑点试验一样。在任何0的情况下都能通过斑点测试，无论校正与否。然而，正如所指出的第5节指出的那样 ，适当交点的负载可以应用。6.3 节点编号不变性由Sze和Chow20提出的这种单一元素的问题见图3，是用来评估不变（或缺乏存在的）节点编号的一个组成部分。比较其结果，所有四种可能的节点编号顺序是用于计算A点的位移。新发现的元素在加工精度方面不改变对节点编号。图 2图 36.4 厚壁圆筒内部压力一个内部压力下无限长厚壁圆筒，考虑切片厚度单位的分析如图 4 。图 4 （a）使用定期分析网格，描绘了内半径5mm和壁厚5mm的圆筒；而图4（b）和（c）代表MacNeal Harder40 测试，分别采用规律的和扭曲的网格。相应的结果见表1-3。正如预期的那样，我们的束缚元素像假定应力元那样不可不执行，尤其是在近的不可压缩性的限制。事实上，除了增加建模能力，在A4等参元素标准的基础上不可约A4R元素并没有带来巨大的效益。这并不奇怪，因为旋转自由度并没有考虑在这些测试中，实际上是零。 另一方面，无论从位移或应力预测方面假定应力A4R元素表现得很好，即使在不可压缩性的方面的影响都显得不敏感。利用常规网格对这两个问题进行分析，位移能够得到准确的预测，这一现象被称为超收敛 25 这只是Jog和Annabattula5以前研究的元素，Weissman和Taylor23的DSF元素。6.5 均匀加载简支圆板 下一个测试的问题如描绘图5 描绘的那样，t代表简支均匀负载圆板的厚度，该板是用如图5（a）和（b）分别两种不同的离散网格描述。不同的失真e和板厚t的结果网格如图5（a）所示并分别列于表4-6 ，而高度扭曲的网格的结果如图5（b）所示见表7。图 4表1 厚壁圆筒规律性网格和可变泊松比的正常化结果（见图4（a）元素V=0.49V=0.499V=0.4999urarAAzAurarAAzAurarAAzAA40.9060.8170.9631.1290.494-0.0260.7781.7040.0890.8560.5972.275LA10.992-1.2820.8510.3560.9921.090-0.584-5.8210.99230.731-14.937-67.698AQ60.9920.9961.0111.0290.9920.9961.0111.0280.9920.9961.0111.028NAQ60.9920.9961.0111.0290.9920.9961.0111.0280.9920.9961.0111.028SQ40.9920.9961.0111.0290.9920.9961.0111.0280.9920.9961.0111.028HA1/FA10.9920.9961.0111.0290.9920.9961.0111.0280.9920.9961.0111.028RHAQ60.9920.9961.0111.0290.9920.9961.0111.0280.9920.9961.0111.028A4Rb0.9060.8170.9631.1300.494-0.0280.7781.7060.089-0.8570.5972.277A4Rb1.0001.0111.0061.0001.0001.0111.0060.9991.0001.0111.0061.001精确值31.78-2.4504.5701.04031.830-2.4504.5701.06031.830-2.4504.5701.060结果精度是10-2a:径向位移测量时r = 5b:有无元素应变修正的结果相同表2 规律性网格MacNeal Hardet测试（见图4（b）元素V= 0.0V=0.3V=0.49V=0.499V=0.4999V=0.499999A40.9440.9880.8470.3590.0535.6110-4FSF0.9440.9900.9860.9860.986-aDSF1.0001.0001.0001.0001.000-aAQ60.9440.9900.9860.9850.9860.985NAQ60.9440.9900.9330.9860.9860.986RHAQ60.9440.9900.9860.9860.9860.986A4Rb0.9440.9880.8460.3580.0535.5910-4A4Rb1.0001.0001.0001.0001.0001.000正常化位移在点Aa: 没有结果报告b: 有无元素应变修正的结果相同表3 扭曲网格MacNeal Hardet测试（见图4（c）元素V= 0.0V=0.3V=0.49V=0.499V=0.4999V=0.499999A40.9890.9820.8160.3150.0444.4310-4FSF0.9850.9810.9760.9760.976-aDSF0.9970.9970.9970.9970.997-aAQ60.9910.9850.9380.7180.4720.410NAQ60.9890.9850.9390.7130.4450.372RHAQ60.9890.9870.9830.9830.9830.983A4Rb0.9880.9820.8150.3130.0444.5510-4A4Rb0.9940.9930.9840.9820.9820.982正常化位移在点Aa: 没有结果报告b: 有无元素应变修正的结果相同结果中的主要弯曲问题见表4和表5，并且泊松比的值足大大低于0.5，显而易见的是不可约A4R元素在位移精度方面明显优于标准等参A4元素。关于应力精度方面，然而由于相互环形的应力环节，因为没有比较基础元素的位移，无法直接计算对称轴的应力，其中导致部分的径向应力。图 5表5 均匀圆板加载不同泊松比的正常化结果，仿照使用1 4扭曲网格元素uzArAv=0.25v=0.49v=0.4999v=0.499999v=0.25v=0.49v=0.499v=0.4999A40.6940.0790.0160.015-a-a-a-aLA41.0271.0060.7770.753-a-a-a-aAQ61.0301.0080.7810.7561.0050.9330.5850.555NAQ61.0301.0080.7810.7570.9800.8791.3441.329SQ41.0301.0080.7810.7561.0110.9480.5990.568HA11.0301.0401.0401.0430.9880.9300.9240.924FA11.0301.0401.0401.0400.9970.9380.9330.933RHAQ61.0301.0411.0411.0410.9940.9980.9980.998A4R0.8650.0800.0160.015-a-a-a-aA4Rb0.8490.0770.0150.015-a-a-a-aA4R1.0091.0081.0071.0070.9710.9560.9530.953A4Rb1.0041.0091.0091.0091.0031.0031.0031.003精确值-738.280-524.980-515.720-515.630121.880130.880131.250131.250见图5（a），t=1,e=0.025a:无法计算r = 0时奇异值 b:元素无应变修正同样，假定应力元（有无元素应变修正）执行确实非常好，但在泊松比方面确敏感性不强，即便有不可压缩性的限制。从以前公布的元素相比较， A4R元素实现了有利位移和应力的预测。图 6仍然在考虑图5（a）描述的问题，表6比较了各种宽高比和歪曲值的元素位移精度的，而泊松比是固定的（= 0.25）。这些结果表明，当元素的宽高比是很高的时候在第5节提出修正应力的A4R和A4R得到加强。但是，如果没有这个（选项3 ）校正，这个元素是极为强劲。特别是当被扭曲和宽高比是极端的A4R元素的宽高比是脆弱的。A4R元素是证明是非常具有鲁棒性的，比较以前提出的元素这显示出了优越的性能。但应强调注意的是有无素应力修正元素之间的分歧只会在长宽比的极端的状况下显得紧要。因此修正的其长处是因为它简化了预处理元素一致交点负载。表6 各种元素宽高比的正常化uzAt3值（=2.5/t）v=0.25 见图5（a）计算数量元素宽高比14规律性网格uzAt314 扭曲网格uzAt32.51005002.5100500A40.6962.2210-38.8910-50.6948.8710-43.8410-5LA11.0341.0251.0251.0270.5490.546AQ61.0341.0251.0251.0300.4930.491NAQ61.0341.0251.0251.0300.4930.491SQ41.0341.0251.0251.0300.4930.491HA11.0371.0281.0281.0300.5590.556FA11.0371.0281.0281.0300.5590.556RHAQ61.0371.0281.0281.0300.7380.738A4R0.8680.4210.1900.8655.3710-37.0510-5A4Ra0.8490.8390.8380.8490.5151.4210-3A4R1.0140.4720.2121.0090.0156.1310-3A4Ra1.0040.9940.9951.0040.9410.879精确值-738.28扭曲网格中e=0.025a:元素无元素应力修正表7 均匀圆板加载不同泊松比的正常化结果，仿照使用1 4高度扭曲的网格元素uzArAv=0.25v=0.49v=0.499v=0.4999v=0.25v=0.49v=0.499v=0.4999A40.6350.0880.0170.019-a-a-a-aLA40.9090.9030.5900.563-a-a-a-aAQ60.9070.9060.5930.5661.3891.1320.3700.328NAQ60.9120.9060.5920.5651.1540.8003.2543.590SQ40.9060.9040.5930.5661.3411.1640.4690.430HA10.9180.9760.9790.9791.2261.0431.0301.030FA10.9150.9710.9740.9741.3521.1671.1541.153RHAQ60.9280.9770.9790.9790.9741.0291.0321.032A4R0.7730.1130.0180.016-a-a-a-aA4Rb0.8800.0910.0150.015-a-a-a-aA4R0.8640.9110.9110.9111.4871.3981.3881.388A4Rb0.9981.0051.0051.0051.0531.0391.0391.039精确值-738.280-524.980-515.720-515.630121.880130.880131.250131.250见图5(b)，t=1 a:无法计算r = 0时奇异值 b:元素无应力修正最后，高度扭曲网格的结果如第5（b）所示并列于表7。再声，与以前的提出位移和应力的精度元素相比较A4R元素表现得很好。6.6 球下内部压力最终元素的准确性测试如图6描述的那样，ri代表了薄球面的内半径，r0代表外半径，都受到了单位的内部压力。只有前半球是仿照使用10个间隔均匀的元素，从而利用问题的对称性。也许会发现一个分析解决这个问题的方法，例如 41，材料的特性为图中所示。 各种在A、B的通常化位移泊松比值在表8列出，在泊松比足够低于0.5时不可约A4R元素再次得到很好的表现。再次，相比以前出版的元素，我们的假定应力A4R元素很好的效果。7 结论在本文中，介绍了基于旋转自由度下轴对称实心回转体的有限元。发展这些元素的首要目标是加强现有的模拟能力，更多旋转自由度的便利，例如，接轴对称外壳和轴对称实体模型之间的联系。然而，比较现有要的元素文章中新的元素在一些流行的基准问题比如准确度和可靠性都有所提高。第一个A4R元素表明每个节点有两个位移自由度，轴对称元素的标准跟单个旋转自由度一样要纤维圈。第二个因素，在混合假定应力公式的基础上提到了拥有上述节点自由度。A4R这一元素，特别是在不久的不可压缩性限制方面进一步改善元素的性能。表明保持稳定的离散形式的该元素是源于一个变框架。旋转是基于连续介质力学的定义下的；应力张量并不是先验假定对称的。应力插值在混合元素提出拥有最低数量应力参数。此外，一个元素的应变修正通常使用的膜元素去减轻平板壳的膜弯曲锁定元素，这样是适应了轴对称情况。这一更正有效地消除了高阶部分奥尔曼插值的敏感性。在斑贴试验通过使用相应的一贯交点荷载标准的4节点轴对称等参元素，从而简化预处理。修正可能在元素宽高比变得非常大的时候会阻碍。然而，校正是可选的，因为即使是通过斑贴试验也是可以是省略的。提及的元素无论修正与否都会有值的。束缚下（即无假定应力）A4R元素的都表现出优于标准位移元素，特别是当用来分析弯曲为主的问题的时候。但是，由于要素基本上是以位移为基础的，它往往锁定在近的不可压缩性的限制下。此外，由于交互式坐标下的应力值轴对称应力无法直接预测。另一方面，混合假设应力A4R元素是认为是极为准确的和强有力的相比，原先一些提议不同的测试问题的元素。尤其是当上述元素修正省略时是非常正确的。对于不失真网格，在气缸内部压力下元素预测确切的位移，这种现象称为超收敛。相比原先提及的元素还发现它能很好的解决其他一些基准问题。参考文献1 T.J.R. Hughes, F. Brezzi, On drilling degrees of freedom, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 72 (1989) 105121.2 E. Reissner, A note on variational principles in elasticity, Int. J. Solids Struct. 1(1965) 9395.3 T.J.R. Hughes, F. Brezzi, A. Masud, I. Harari, Finite element with drilling degree of freedom: theory and numerical evaluation, in: R. Gruber, J. Periaux, R.P.Shaw (Eds.), Proceedings of the Fifth International Symposium on Numerical Methods in Engineering, vol. 1, Springer, Berlin, 1989, pp. 317.4 A. Ibrahimbegovic, R.L. Taylor, E.L. Wilson, A robust quadrilateral membrane finite element with drilling degrees of freedom, Int. J. Numer. Methods Eng.30 (1990) 445457.5 A. Ibrahimbegovic, E.L. Wilson, A unified formulation for triangular and quadril- ateral flat shell finite elements with six nodal degrees of freedom, Commun. Appl.Nu- mer. Methods 7 (1991) 19.6 T.H.H. Pian, Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distributi- ons, AIAA J. 2 (1964) 13331336.7 T.H.H. 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