中考数学专题复习——线段和差的最小值问题.ppt

1、,中考数学中的最短问题,-线段和、差的最值问题,学习目标,掌握线段和、差最值的求解方法。 知识准备 1、轴对称的性质； 2、两点之间线段最短； 3、垂线段最短； 4、勾股定理； 5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对 称性。,A,B,如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,P,A,B,如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,求线段和最小值的一般步骤：,连结对称点A与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的

2、点，线段AB的长就是AP+BP的最小值。,选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A；,B,L,A,基本图形:两点一线,B,L,A,基本解法:利用对称性,将“折”转“直”,出题背景变式有： 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题思路： 找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。,类型1：两个定点，一个动点 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_,M,N,P,M,P,5,1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可

3、知，B与D关于直线AC称连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段_ 的长度，最小值等于_；,2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。,练习,A,P,C,B,DE,3、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）BPG周长的最小值是 。,P,3,2,4、已知：如图，AB是O的直径，AB=4，点C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接P

4、C，PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P的位置.,A,B,C,O,P,D,D,P,类型2：两个动点，一个定点,（陕西省）如图3，在锐角ABC中，AB= ，BAC=45，BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值是_ ,1、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小 值为（ ）,P,Q,K,B,E,练习：,类型3：多条线段和最小 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最

5、小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。,B,A,P,Q,.,P,Q,.,练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.,类型4：先平移，再对称,如图11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为

6、边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.,（2）如图13，作点D关于x轴的对称点 ，在CB边上截取CG=2，连接 G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GCEF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF. 又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小. 因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO= O=2,BG=1. 所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为 （0，-2），设直线G

7、 的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x= ，所以点E的坐标为（ ，0）,所以点F的坐标为（ +2，0）即F的坐标为（ ，0）,练习,看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。,如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）点B（0，-5）点C (I)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使三角形PAB的周长最小，求出点P的坐标。,（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点F，使FC-FB值最大请求出点F的坐标,P,C,类型5：线段差

8、的最大值,拓展,如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=_。,变式应用,求函数y= + 最小值。,小结升华,不管在什么背景下，有关线段和、差最值问题， 大都借助于“轴对称”，实现“折”转“直”,本节课学习的主题 问题， 解题思路：,线段和、差的最值,数学思想：转化思想,当堂检测,1、如图O的半径为2，点 A,B,C在O 上， ， ， P是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；,2、如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=

9、2,EM+CM的最小值为 .,3、如图4，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值,4、如图9，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= （k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1（1）求反比例函数的解析式； （2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.,5、如图1，在直角坐标系中，点A，B，C坐标分别为（1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线 ，D为对称轴 上一动点 求当DB-DC最大时，点D的坐标,6、（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形AB