实二次型线性代数课件6 4

1、1. 正正(负负)定二次型的概念定二次型的概念 2. 正正(负负)定二次型的充要条件定二次型的充要条件 3. 正正(负负)定二次型的应用定二次型的应用 6.4 6.4 正定二次型正定二次型 注注 (2)若若A是正定矩阵是正定矩阵, 则则- - A是负定矩阵是负定矩阵. . 1. 正正(负负)定二次型的概念定二次型的概念 定义定义1 1 若对任意X0,实二次型f(X)= =X TAX 0, 则 称 f 为正定二次型，A 为正定矩阵；若对任意 X0，实二次型f(X)=X TAX 0，则称 f 为负定二 次型， A 为负定矩阵；若对任意X0，实二次型 f(X)既可取正值又可取负值，称 f 是不定的.

2、 niaAf XaA iii T ii innij , 10)( )( = = = = = = = = = 有有取取，正定正定若若 (1)正正(负)定矩阵定矩阵的主对角元素主对角元素都都大大 (小)于零于零. 2. 正正(负负)定二次型的充要条件定二次型的充要条件 定理1 二次型 f(X)= =X TAX 正定的充要条件是其 正惯性指数等于n. 证明证明 设满秩线性变换X=PY，将二次型f(X)=X TAX 化为标准形 )()( 22 11 YgyayaXf nn = =+ + += = 因P满秩，X 0 Y 0.对于任意X 0,从而对任意 Y 0,f(X) = = g(Y) 0,取Y=i ,

3、则g( i) = = ai 0，i = =1,n, 即正定二次型f(X)的正惯性指标等于n.反之也易证. 推论1 二次型 f(X)= =X TAX 正定的充要条件是其 正规形为正规形为 f(X)= =y12 + yn2. 推论1 二次型 f(X)= =X TAX 正定的充要条件是 A 合同于单位矩阵 I. 推论1 n阶矩阵 A 正定 A 合同于单位矩阵 I. 推论2 二次型 f(X)= =X TAX 正定的充要条件是二 次型的矩阵 A的所有所有特征值特征值均均大于大于0. 推论2 A为n阶实对称矩阵，则A 正定的充要条 件是 A的所有所有特征值特征值均均大于大于0. 设A为n阶实对称矩阵，则下

4、述四个命题等价： (1) A 为正定矩阵； (3) A 合同于单位矩阵 I； (4)存在可逆矩阵P，使 A = =PTP. （见P205综合练习5） (2) A的所有特征值均大于0； 推论3 正定二次型的矩阵的行列式大于的行列式大于0. (矩阵正定的必要条件) 定义定义 设A = = (aij)n n为n阶矩阵,称子式 为矩阵A的k阶顺序主子式，或为A的第k个顺序主 子式，k =1, 2, , n. kkk k k aa aa 1 111 = = 推论推论 实对称矩阵实对称矩阵A为为正定正定的充分必要条件是：的充分必要条件是：A的的 各阶顺序主子式全为正各阶顺序主子式全为正. 定理2 二次型

5、f(X)= =X TAX 正定的充要条件是二 次型的矩阵A的各阶顺序主子式全大于0，即 , 0 111 = = a, 0 2221 1211 2 = = aa aa ,.0 = = A n ( () )( () )., 2 , 1, 01 1 111 nk aa aa kkk k k = = - - 定理3 二次型 f(X)= =X TAX 负定的充要条件是A 的所有奇数阶顺序主子式都小于0，而A的所有 偶数阶顺序主子式都大于0，即 例例1 1判别二次型判别二次型 ( () ) 323121 2 3 2 2 2 1321 48455,xxxxxxxxxxxxf- - -+ + + += = 是

6、否正定是否正定. 解解 ( () )的矩阵为的矩阵为 321 ,xxxf, 524 212 425 - - - - - - - 它的顺序主子式它的顺序主子式 , 0|5| , 01 12 25 = = , 01 524 212 425 = = - - - - - - - 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的. 例例2 2判别二次型判别二次型 xzxyzyxzyxf44465),( 222 + + +- - - -= = 是否负定是否负定. 解解的矩阵为的矩阵为f , 05|5| - -= =- -, 026 62 25 = = - - - - , 080 - -= =A .3为负定二次型为

7、负定二次型知知根据定理根据定理f , 402 062 225 - - - - - - = =A 证明: A正定AT=A, 且A的特征值l l1,l l2, ,l ln均大于零. (A-1)T= (AT) -1 =A-1 A-1为实对称矩阵， 又因为l l1-1,l l2-1, ,l ln-1是A-1的所有特征值， 而l li-1 0, i=1,2, ,n . 因此 A-1为正定矩阵. 例例3 ., 1也是正定矩阵 也是正定矩阵证明：证明：是正定矩阵是正定矩阵设设 - - AA 正定矩阵具有以下一些简单正定矩阵具有以下一些简单性质性质： ;)( ),(, . 1 * 1 正定矩阵正定矩阵均为均为

8、的伴随矩阵的伴随矩阵 为正整数为正整数则则为正定矩阵为正定矩阵设设 AA kAAAA kT- - . ,. 2 正定矩阵正定矩阵 也是也是则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若 BAnBA + 3、正正(负负)定定二次型的应用二次型的应用 令z=f (x, y)在其定义域 D内有二阶连续偏导数, 内的驻点，内的驻点，为为D),( 000 yxP0 0 0 = = = = P P y f x f 即即 = = = = = = = = cb ba A y f c yx f b x f a PPP , , , 000 2 22 2 2 令令 ., 0|0 0 2 点取极小值点取极小值在在时，时，Pfb

9、acAa - -= = = ., 0|0 0 2 点取极大值点取极大值在在时，时，PfbacAa - -= = = ., 0| 0 2 点不取极值点不取极值在在PfbacA - -= = = 即A正定, f在P0点取极小值; A负定, f在P0点取极大 值; A不定, f在P0点不取极值. 思考题 . 0 0 , 是否为正定矩阵是否为正定矩阵分块矩阵分块矩阵 试判定试判定阶正定矩阵阶正定矩阵阶阶分别为分别为设设 = = B A C nmBA 思考题解答 . 0 0 0 0 C B A B A C T T T = = = = = =解1解1 , , 维列向量维列向量维和维和 分别是分别是其中其中

10、维向量维向量为为设设 nm yxnm y x z+ + = = = = y x B A yxCzz TTT 0 0 ),(,0 + += =ByyAxx TT .为正定矩阵为正定矩阵故故C 于是于是不同时为零向量不同时为零向量则则若若, 0yxz 0| 0 0 |= =- -l l- -l l= = - -l l - -l l = =- -l lBIAI BI AI CI . 的特征值的并集的特征值的并集和和的特征值是的特征值是BAC . 是正定矩阵是正定矩阵和和BA . 的特征值均是正数的特征值均是正数和和BA . 的特征值均是正数的特征值均是正数C . 是正定的是正定的C . 0 0 0 0 C B A B A C T T T = = = = = =解2解2 2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法： (1)(1)定义法定义法； (2)(2)顺序主子式判别法顺序主子式判别法； (3)(3