第七讲(1导数应用).ppt

1、,第七讲 (一元微分学之四) 导数的应用方法,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用 :,求不定式极限 ;,几何应用 ;,相关变化率;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,主要问题,一.导数的应用方法指导,1. 导数在研究函数性态方面的应用,(1) 增减性,若,则 f (x) 在 I 上递增 ;,若,则 f (x) 在 I 上递减 .,(2) 极值点,第一充分条件 ( f (x)在 连续),左正右负,在 两侧,为极大值点 ;,左负右正,为极小值点 .,第二充分条件,若,则,为极小值点 ;,若

2、,则,为极大值点 .,推广的充分条件,若,且,则,为极小值点 ;,则,为极大值点 .,提示:,利用泰勒公式,正负号由,决定 .,(3) 凹凸性,若在 I 上,则,凹向上 ;,若在 I 上,则,凸向上 .,(4) 渐近线,若,则,有水平渐近线,若,则,有垂直渐近线,若,则,有,斜渐近线,斜渐近线的推导,斜渐近线,若,(5) 函数作图,2. 导数在最值问题中的应用,(1) 建立目标函数及其转化,一般因变量取为目标变量 , 自变量的选取应使目标函数尽可能简单.,(2) 最值的判别问题,3. 导数的其他应用,几何应用;,相关变化率;,研究方程的实根问题,存在性:,利用零点定理或罗尔定理,唯一性:,利用

3、单调性或用反证法,二. 实例分析,例1. 证明函数,在,上单调增加.,（P95例4）,证:,当 x 0 时,故,因此,在,上单调增加 .,1. 导数在研究函数性态方面的应用,例2. 设,对一切实数 x 满足方程,证明 f (x)在,取极值必为极小值 . （P97例8）,证: 设 f (x) 在,取极值 ,则必有,由方程可知,当,时,当,时,例3. 已知函数,求当 a 变动,函数 f (x) 的拐点的轨迹方程 .,解:,令,得,即,易知,通过此点变号.,将此点代入 y = f (x) , 得,故拐点轨迹的参数方程为,消去参数 a , 得一般方程,此即所求拐点轨迹方程 .,的连续性及导函数,例4.

4、 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,(3)判断复合函数,的凹凸性:,1) 若 f (u) 单减且凸,为凹, 则,为,2) 若 f (u) 单增且凸,为凸, 则,为,3) 若 f (u) 单减且凹,为凹, 则,为,4) 若 f (u) 单增且凹,为凸, 则,为,提示 :1),在定义域中任给,则有,因f (u) 单减且凸 ,故

5、有,凸,凸,凹,凹,(4). 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性,提示: 由题设,(5)已知函数,(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.,则( ),的某个邻域内连续, 且,A,(2003 考研),例5.求曲线,的渐近线.,又因,为曲线的斜渐近线 .,例6. 求笛卡儿叶形线,的渐近线 .,解: 令 y = t x ,代入原方程得曲线的参数方程 :,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,即,（P100例13）,例1. 椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,求驻点:,2. 解

6、最值问题,（参考P98例10）,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,例2. 求数列,的最大项 .,证: 设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值 .,又因,且,故,为数列,中的最大项 .,（P97例9）,因此也可通过,例3. 求函数,分析:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,清楚(视角 最大) ?,观察者的眼睛1.8 m ,例4. 一张 1.4 m 高的图片挂在

7、墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,例5. 已知平面曲线 L 的方程为,考虑把L 围在内部且各边平行于坐标轴的矩形, 试求这些,矩形中面积的最小值 .,解: 由 L 的方程可知, 曲线关于,轴对称,与 轴交点为 (0 , 0) , (2 , 0) .,其显式方程为,由于曲线是光滑的, 因此面积最小的矩形应外切于曲线 .,现在的关键是求曲线的最高点与最低点.,令,解方程组,得,显然 , 在,处,取最大值 ;,在,处,

8、取最小值 ;,故包围L的矩形中面积最小值为,例6. 设,试从其所有与法线重合的弦中,找出一条长度最短的弦, 并求其长度 .,解: 令,得曲线的参数方程,曲线在点,即,处,的法线斜率为,在曲线上另取一点,则,的斜率为,当,与法线重合时, 有,即,设此时,的长度为 d ,则,的最小值,的最小值,令,得,不难验证此点是 f (t) 在,时的唯一极小点 , 从而,取最小值 , 因此,存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.,售出该产品 x 千件的收入是,例7. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是,解: 售出 x 千件产品的利润为,问是否,故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润,

9、而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.,说明：在经济学中,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上,即边际收入边际成本,（见右图）,即,收益最大,亏损最大,试求,解:,例8.,故所求最大值为,第六节,例1 证明方程,在区间(0,1)内有且仅有一个实根。,证明： 设,在区间0,1 上连续，,由零点定理，,使,即,的根存在。又,单调增加。,的图形至多与 x轴有一个交点，,所以方程仅有惟一解。,3.研究方程的实根问题,例2. 设,在,上可导, 且,证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .,证: 设,则,故,在,上单调递增,从而至多只有,一个零点 .,又因,因此,也至多只有一个零点 .,（P95例5）,例3. 设在,上,证明 f (x) 在,证: 将,在,处展成一阶泰勒公式,因此,根据连续函数零点定理可知,使,上有且仅有一个实根 .,又因,时,故,这说明 f (x) 在,上单调递减 ,因此 f (x) = 0 在,上有且仅有一个实根 .,（参考P80例9）,例4. 设 x 0 时 , 方程,存在唯一实根 ,求 k 的取值范围 .,解: 设,则,1) 当,时,因,所以,又因,此时,在,有唯一的零点 .,2) 当,时, 令,得,为最小值,令,得,时原方程在