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1、,第 二 章,空间向量与立体几何,本章高效整合,知能整合提升,1空间向量的概念与运算 (1)空间向量的有关定理 共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0，ab的充要条件是存在实数，使得ab. 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb. 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个基底,两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b 向量的数量积的性质(e是单位向量) )ae|a|cosa

2、，e；)abab0； )|a|2aaa2；)|ab|a|b|. 向量的数量积满足如下运算律： )(ab(ab)；)abba(交换律)； )a(bc)abac(分配律),2平行与垂直关系的证明 (1)利用向量处理平行问题 空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可以用向量方法来研究具体情况如下： 设a，b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a，b，那么abab.根据实数与向量积的定义：abakb(kR，k0) 平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面，的法向量分别为a，b，那么ab.,(2)利用向量处理垂直问题 空间的线线、线

3、面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量垂直的问题来解决 设a，b分别为直线a，b的一个方向向量，那么ababab0； 设a，b分别为平面，的一个法向量，那么abab0； 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，那么lab.此外，也可证明l的方向向量与平面内两条相交直线所对应的方向向量垂直,热点考点例析,答案：(1)A,思维点击证明平行问题，除了应用传统的线线平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明 证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法 利用空间向量解立体几何问题，优点是思维量小，缺点是计算量大,思维点击建立坐标系，通过向量坐标运算、数量积为零证明D1EA1D；求出平面ACD1的法向量，代入公式求解,答案：A,2若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则() A B C，相交但不垂直 D以上均不正确 解析：v3u，vu.故. 答案：A,答案：C,答案：D,答案：21,6平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面的夹角的大小为_,(3)设u是平面的法向量，a是直线l

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