空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1、1 . 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2 . 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆 锥、 棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述三视图 所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的 直观图.,3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空 间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同 表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图.（在不影响图 形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）,1.空间几何体的结构特征,2.空间几何体的三视图 三视图：用 得到，这种投影下与投影面 的 平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 的.三视图包

2、括 、 、 .,正投影,平行,相同,完全,正视图,侧视图,俯视图,3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 画法来画，基本规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、 y轴的夹角为 ，z轴与x轴和y轴所 在平面 .,斜二测,45(或135),垂直,(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 . 平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中 ，平 行于y轴的线段长度在直观图中 .,还是线段,保持不变,变为原来的一半,1.下列有关棱柱的命题中正确的是 () A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱 C.一个棱柱

3、至少有五个面、六个顶点、九条棱 D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等,解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱.,答案：C,2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这 个几何体一定是 () A.圆柱B.圆锥 C.球体 D.圆柱，圆锥，球体的组合体,解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.,答案：C,3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两 个视图相同的是 () A. B. C. D.,解析：正方体的正视、侧视、俯视图都是正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、

4、三角形、圆及圆心； 三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形(与正视图可能不相同)、三角形(内外两个三角形且对应顶点相连)； 正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形.,答案：D,4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长 为a的正方形，则原平面四边形的面积等于.,解析：如图所示. 原平面四边形面积为a2 2 .,答案：2,5.如图所示，图、是图表示的几何体的三视 图，其中图是，图是，图是 (说出视图名称).,解析：结合三视图的有关概念知，图是正视图，图是侧视图，图是俯视图.,答案：正视图侧视图俯视图,1.几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱

5、柱.特别地，当底面是正 多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).,(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的 射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正 三棱锥又叫正四面体. 2.理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象 能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关 系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注 意对比记忆.,下面有四个命题： (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； (4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是 () A.

6、1B.2 C.3 D.4,思路点拨,课堂笔记命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题(3)缺少第二个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备.,答案A,1.几何体的三视图的排列规则： 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图 放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一 样，即“长对正，高平齐，宽相等”，如图所示(以长方 体三视图为例)：,特别警示画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线.,2.应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图 中所涉及到的线段的长度，推

7、断出原几何图形中的点、 线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我 们就可以解出有关的问题.,(2009山东高考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 () A.22 B.42 C.2 D.4,思路点拨,课堂笔记由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为 ，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为 V122 ( )2 2 .,答案C,1.注意原图与直观图中的“三变、三不变”：,“三变”,坐标轴的夹角改变， 与y轴平行线段的长度改变（减半）， 图形改变.,“三不变”,平行性不变, 与x轴平行的线段长度不变, 相对位置不变.,2.按照斜二

8、测画法得到的平面图形的直观图，其面积与 原图形的面积有以下关系： S直观图 S原图形，S原图形2 直观图.,已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.,思路点拨,课堂笔记建立如图所示的xOy坐标系，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高. 把y轴绕原点顺时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A、B点即为A、B点，长度不变.,已知ABACa，在OAC中， 由正弦定理得 ， 所以OC a a， 所以原三角形ABC的高OC ， 所以SABC a a a2.,若ABC是边长为a的正三角形，则其直观图ABC的面积是多少？,解：法一：由于直观图的面

9、积S与原图形的面积S间满足 )，易知ABC的面积为 .,法二：如图(1)(2)所示的实际图形和直观图.,由(2)可知：ABABa，OC OC a， 在图(2)中作CDAB于D， 则CD OC a， SABC ABCD,三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇的载体，因而是高考的重点内容之一.但新课标对这部分内容的要求较低，经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查.2009年广东高考将三视图与几何体的体积计算、空间位置关系融为一体，考查了学生的空间想象能力，是一个新的考查方向.,考题印证 (2009广东高考)(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥PEF

10、GH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.,(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积； (3)证明：直线BD平面PEG.,【解】(1)该安全标识墩侧视图如下图所示. (4分),(2)该安全标识墩的体积 VVPEFGHVABCDEFGH 40406040402064 000(cm3).(6分) (3)由题设知四边形ABCD和四边 形EFGH均为正方形， FHEG， 又ABCDEFGH为长方体， BDFH.(8分),设点O是EFGH的对称中心， PEFGH是正四棱锥， PO平面EFGH，而FH平面EFGH， POFH.(9分) FHPO

11、，FHEG，POEGO， PO平面PEG，EG平面PEG， HF平面PEG.(11分) 而BDFH， 故BD平面PEG.(12分),自主体验 一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点. (1)求证：MN平面ACC1A1； (2)求证：MN平面A1BC.,证明：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，ACBCCC1a. (1)连结AC1、AB1. 由直三棱柱的性质得AA1平面A1B1C1， 所以AA1A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.,由矩形性质得AB1过A1B的中点M. 在AB1C1中，由中位线性质得MNAC1. 又AC1平面ACC1A1

12、，MN平面ACC1A1， 所以MN平面ACC1A1.,(2)因为BC平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1， 所以BCAC1. 在正方形ACC1A1中，A1CAC1. 又因为BCA1CC， 所以AC1平面A1BC. 由MNAC1，得MN平面A1BC.,1.对于斜二测画法叙述正确的是 () A.三角形的直观图是三角形 B.正方形的直观图是正方形 C.矩形的直观图是矩形 D.圆的直观图一定是圆,解析：正方形、矩形的直观图都是平行四边形， 故B、C错误；圆的直观图是椭圆，故D错误.,答案：A,2.将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是 GHI三边的中点)得到几何体如图(2)，则该几何

13、体按 图(2)所示方向的侧视图为 (),解析：由正三棱柱的性质得侧面AED底面EFD，则侧视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部.,答案：A,3.下图是由哪个平面图形旋转得到的 (),解析：图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形.,答案：A,4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得 该几何体的表面积是.,解析：由几何体的三视图可知此几何体是圆柱与球体的组合体，S表4R22r22rh42612.,答案：12,5.(2010广州模拟)已知一几何体的三视图如下，正视图 和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上 任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .,矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形 的四面体； 每个面都是等腰三角形的四面体； 每个面都是直角