T-模与分解定理

1、第三章 T-模与分解定理,一. T-模(三角模)的概念,前面介绍了模糊集定义的各种拓广形式, 本节是对模糊集运算进行拓广, 就是将模糊集的并、交运算拓广到一般的t-模、s-模。 1. 从西瓜问题谈起 考虑一堆西瓜, 定义西瓜为“里红且外绿”的水果, 这里“红”与“绿”是模糊概念, 从而这里的“西瓜”也是一个模糊概念。假设某水果里红的程度是0.5, 外绿的程度是0.8. 它隶属于西瓜的程度如何?,如果使用前述模糊集的交运算定义, 则这个水果属于“西瓜”的程度 0.50.8=0.5.,然而, 就直观的感觉而言, 里红和外绿对于成为一个西瓜来说应该是互相加强的“证据单元”, 因此这个水果隶属于“西瓜

2、”的程度大于0.5才合理。,观点：当取两个模糊集的交集时, 可能希望较大的模糊集对结果产生影响, 但如果模糊交集选用min, 则可能较大的模糊集无法产生影响。,因为客观世界现象错综复杂，“与”算子的选取也应具体问题具体分析。所举西瓜“证据强度”的例子说明min算子用此例不合适, 但不能说采用别的算子就一定不合适。目前“与”算子除采用min外, 还可以用有界积、乘积等算子。min算子作为“与”算子可用于许多论域, 但不是所有论域, 其它的“与”算子在一定条件下适用于一定的实际问题, 数学的高度抽象性和客观世界的复杂多样性从来就是相辅相成的。,T-模(triangular norm, 又称为三角模

3、或T-范数)首先出现在K.Menger于1942年发表的论文“Statistical metrics”(统计度量)中, 在这里, T-模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的。60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新严格定义了T-模(即现在通用的定义)和统计度量空间(现称为概率度量空间), 从而导致了这个领域的飞速发展。由于T-模较好地反映了“逻辑与”的性质, 因此T-模作为一般的“模糊与”算子一致受到模糊逻辑学界的青睐。,事实上, 除了概率度量空间和模糊逻辑外, T-模还应用于决策支持、函数方程、测度理论、博弈理论等许多领域.,2. T-模的定义 定义 T-模是单位区间

4、0, 1上的二元运算T, 它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元1. 即 T: 0,10,10,1满足以下条件： x, y, z0,1有： (1) T(x, y)=T(y, x), (2) T(x, T(y, z)=T(T(x, y), z), (3) 当y z时, 有T(x, y)T(x, z), (4) T(x, 1)=x. 容易证明: T(x, 0)=0, x0,1. 常用表示T, 并将T(x, y)记为xy.,以下各式定义的都是T-模: (1) xy=min(x, y). (取小算子或Gdel T-模) (2) xy=xy. (积算子或乘积 T-模) (3) xy=max(x+y1,

5、 0). (Lukasiewicz T-模) (4) 突变积或极端积 当x, y至少有一个是1时xy取最小者, 否则, xy=0. (5) R0 T-模(王国俊),二. S-模(T-余模)的概念,1. S-模的定义 定义 S-模(三角余模或T-余模)是单位区间0, 1上的二元运算S, 它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元0. 即 S: 0,10,10,1满足以下条件： x, y, z0,1有: (1) S(x, y)=S(y, x), (2) S(x, S(y, z)=S(S(x, y), z), (3) 当yz时, 有S(x, y)S(x, z), (4) S(x, 0)=x. 容易证明

6、: S(x, 1)=1, x0,1. 常用表示S, 并将S(x, y)记为xy.,以下各式定义的都是S-模: (1) xy=max(x, y). (2) xy=x+yxy. (概率和) (3) x y=min(x+y, 1). (有界和) (4) 当x, y至少有一个是0时x y取最大者, 否则, x y=1. (突变和) (5) R0 S-模(王国俊),2. T-模与S-模的对偶 定义 设h是0,1上的伪补(即h: 0,10,1是逆序对合映射). 映射 *: 0,10,10,1 的h对偶是指如下映射 *h:0,10,10,1, x*hy=h(h(x)*h(y). 定理 是T-模当且仅当的对偶

7、h是S-模. 定义 设A, BF(X), T与S是关于伪补h对偶的T-模与S-模, 则称 (ASB)(x)=S(A(x), B(x) 为A与B的模并, 称 (ATB)(x)=T(A(x), B(x) 为A与B的模交, 称 Ah(x)=(A(x)h 为A的补。 模糊集的模运算是经典集合并交运算的一般化.,如下算子是伪补: c(x)=(1xw)1/w, w(0, ) Yager算子 c(x)=(1x)/(1+x), (-1, ) Sugeno算子 定理 设是T-模, 是S-模, 则 Td(x, y)xyxyxyxySd(x, y) 这里 Td,Sd分别是突变积和突变和。,三. 分解定理,1. 截集

8、 定义 设AF(X), 0,1, 记 A=xX|A(x) 称A为A的截集。又记 A+=xX|A(x) 称A+为A的强截集。 定义 设AF(X), 称 A1=xX|A(x)=1 为A的核, 记为kerA. 称 A0+=xX|A(x)0 为A的支集, 记为suppA. 称suppAkerA为A的边界。,kerAAsuppA X,X,定理 设A, BF(X), ,0,1. 则截集有如下性质： (1) (AB)=AB, (AB)=A B. (2) (AB)+=A+B+, (AB)+=A+B+. (3) A+A. (4) 若AB, 则AB, A+B+. (5) 若 , 则AA , A+A+. (6) A=A|0, ). A+=A|( , 1.,2. 数积(截积) 定义 设AF(X), 0,1, 与A的数积(截积）A定义为： (A)(x)=A(x), xX. 即A仍为X上的模糊集。,3. 模糊集合的分解定理 定理 对任意的AF(X)有 A=0,1 A,x,任取0,1, 将模糊集A切成经典集合A,再用与 A作数积得模糊集A, 将所有的数A(0,1)拼起来, 组成 0,1 A, 此模糊集就是A.,证明 欲证 A=0,1A，只需证明 对任意的xX, A(x)=(0,1A)(x), 即 A(x)=0,1 (A)(