计算方法 偏微分方程数值解.ppt

1、第五章偏微分方程的数值方法，5.1偏微分方程简介，5.2离散公式，5.3几种常见偏微分方程的离散计算，5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程的求解，本章要求，教学目的说明：偏微分方程的离散格式和求解的一般过程教学要求记忆一阶和二阶偏微分方程的离散格式；擅长用EXCEL迭代求解偏微分方程；通过使用两个数组交替更新来探索编程解决方案；该扩展试图模拟化学反应工程中的物理场。教学重点是各种偏微分方程的离散和求解。教学难点是特殊边界条件的引入和应用。5.1偏微分方程导论。如果多元函数的偏导数出现在微分方程中，或者如果未知函数与几个变量相关并且它们的导数出现在方程中，则偏微分方程是偏微分方程。在化学工程或化

2、学动力学模拟方程中，一个自变量是时间，另一个自变量是空间位置。如果只考虑一维空间，那么只有两个独立变量；如果考虑二维空间，有三个独立变量。许多化学过程是通过求解偏微分方程或数值模拟来确定的。5.1偏微分方程导论，偏微分方程分类，线性微分方程线性偏微分方程拟线性偏微分方程非线性微分方程非线性偏微分方程，5.1偏微分方程导论，数学分类：椭圆方程椭圆抛物双曲方程物理实际问题分类：波动方程(双曲型)一维弦振动模型：热传导方程(抛物型)一维线性热传导方程拉普拉斯方程(椭圆型)稳态静电场或稳态温度分布场)， 5.1微分方程的求解思路，求解微分方程数值解的一般步骤：步骤1:按照一定的规则将整个区域分成若干小

3、块； 第二步：离散微分方程；为离散点或切片构造递归公式或方程；步骤3:离散初始值或边界条件；根据递归公式，离散化初始值或边值，补充方程，开始递归运算步骤4数值解计算：求解离散系统问题，微分方程的定解问题，求解离散系统问题，5.2离散化公式，在一定的时间和空间间隔内离散化自变量，然后因变量成为这些离散变量的函数。一阶偏导数的离散化公式一般用欧拉公式表示。有时，为了保证系统的稳定性，时差往往用倒向公式表示，5.2离散化公式。对于二阶偏导数，我们可以通过泰勒展开处理技术得到以下离散化计算公式：5.2离散化公式的推导，根据英国的二阶泰勒公式展开uk 1；根据英国的二阶泰勒公式展开uk-1:两个公式相加

4、，5.3几种常见偏微分方程的离散计算，1。波动方程，其中：初始条件是边界条件。当波动方程只提供初始条件时，称为波动方程的初值问题，当两者都提供时，称为波动方程的混合问题。5 . 3 . 1波动方程解，对于初值问题，已知当t=0时，u和x相关的函数形式，以求解不同位置和不同时间的u值。u在二元函数中定义，即上半平面的函数。对于混合问题，除了初始值，还有边界值。当初始值已知且x=0和x=1时，u依赖于t，求解不同位置x和不同时间的u值。此时，u是定义在带状区域上的二元函数。5.3.1波动方程解，方程离散化，整理可：边界条件初始条件离散化，5.3.1波动方程解，例5.1333如果套管长度或传热系数改

5、变，达到稳定状态的时间也会改变。一维流动传热方程类似于波动方程。用差商近似代替偏商，可以得到一维流动传热方程混合问题的差分方程，其解作为流动传热方程的近似解。2。一维流动热传导方程的混合问题，弥散，可以通过处理上述公式得到：它是一个显式格式。只要公式中的每个系数都大于零，它通常是稳定的，并且可以获得稳定的解。通过分析上述公式，可以发现当为了提高数值精度而适当地减小X时，最有可能小于零的系数是uin的系数。为了确保该系数大于零，此时t必须相应地更小，这将导致计算量的大幅增加。这是显式方案的缺点。为了克服这一缺点，本文提出了一种隐式格式：将偏微分方程在点上离散化，对于时间的偏微分，利用逆向欧拉公式

6、5.3.2得到原偏微分方程的离散化公式：一维流动热传导方程。从图5-3可以看出，从初始值和边界条件逐行向上推是不可能的。必须同时求解线性方程和添加两个边界条件：同时正好有m 2个方程和m 2个变量，这样就可以求解n 1行上每个点的值。这样，每次求解一个线性方程组时，一行点的U值就可以向上计算。虽然引入了方程组的解，但是可以增加计算量。然而，由于隐式格式是无条件稳定的，取T的方法与X无关，多行节点的U值可以计算得更少。与显式方案相比，最终节省了计算量。5.3.2一维流动热传导方程，例5.2考虑纵向热传导换热器内管各点温度分布的微分方程：解：首先，根据以前的知识，将方程离散化：将其代入微分方程并简

7、化。通过分析上述公式，我们可以知道，如果我们一次知道每个点T，(j=0，1，2.10，11)，我们就可以在下一次找到每个点。现在我们知道了零时刻管内各点的温度分布和入口任意时刻的温度。如果我们想找到下一次的温度，我们需要根据上面的离散化公式知道j=11时的温度，这个公式可以用给定的边界条件离散化。有了上述方程，就可以求解上述微分方程。5.3.2一维流动热传导方程，EXCEL，5.3.3稳态热传导/扩散方程，3稳态热传导/扩散方程在化学热传导和扩散过程中，没有物质流动，只有热传导和扩散才能传递热量和质量。如果系统此时达到稳定状态，也就是说，系统中每个控制单元的属性(如温度和浓度)不会随时间而改变

8、，系统中的属性只与其位置相关。利用化学知识，我们可以得到以下二维和三维热传导或扩散的稳态偏微分方程：2D: 3D: 2D热传导或扩散的稳态偏微分方程也称为调和方程。通常有三种边界条件：第一种边界条件：第二种边界条件：第三种边界条件：离散化公式：取，经过简化：将外节点(边界节点)和内节点的求解方法划分为网格，迭代求解节点的离散方程(或稀疏方程)，求解5.3.3稳态导热/扩散方程，求解5.3.3稳态导热/扩散方程。常用的迭代格式有三种：(1)同步迭代；(2)异步迭代；(3)过松弛迭代：当计算范围r是一个矩阵区域，在x方向上分为m，在y方向上分为n，最佳松弛因子是：根据数学知识，上述所有偏微分方程，

9、紧凑迭代，5.3.3稳态热传导/扩散方程的解，例5.3:在热传导平衡状态下的一定保温，假设其形状为长方体，在x和y方向上热传导，导热系数相等，已知的边界温度分布如下图所示：解：取某个微元进行能量平衡计算，由于它已经达到热传导平衡状态，可以得到如下结果：来热-出热=5.3.3要求解稳态热传导/扩散方程，参照中的循环在“工具”菜单上，单击“选项”，然后单击“重新计算”选项卡。选中迭代复选框。若要设置Microsoft Excel重新计算的最大次数，请在“最大迭代次数”框中键入迭代次数。迭代次数越多，Excel计算工作表的时间就越长。要设置迭代结果之间的最大可接受误差，请在“最大误差”框中键入所需的

10、值。数值越小，结果越准确，计算工作表的时间也越长。5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程的求解实例，5.4.1基本设置和假设1。吸附器结构参数的设置上图显示了套筒吸附器，其有效长度为l，有效内径为d，环形间隙宽度为B，吸附器壁厚为B.导热流体通过环形空间将热量传入或传出吸附器，吸附质通过吸附器上端的小管进入或离开吸附器。5.4.1基本设置和假设，2。吸附床外流体传热的一些基本假设：1)忽略流体在环形间隙宽度上的温度梯度；2)忽略热量损失；3)忽略吸附器壁厚B上的温度梯度，吸附器壁温采用集总参数法计算。吸附床传热传质的一些基本假设：1)吸附床中的吸附气体处于气体停滞状态；2)。忽略蒸发器、冷凝器和

11、吸附床之间的压差；3)。吸附平衡在吸附床中的每个计算的微量元素中实现。吸附容量可通过回归方程计算；4.利用差分吸附热，吸附热随吸附量和吸附温度的变化而变化；比热采用有效比热，有效比热也随温度而变化，但在微元计算中可以视为常数；5.活性炭在床层中的导热系数采用等效导热系数，这可以通过实验测量得到。5.4.2建立流体传热模型，取轴向环形单元，进行能量分析如下：1 .流入环形元件的流体能量是2。流出环形元件的流体能量是3。将流体在X处的热传导热引入7个总能量平衡方程，其中：F为流体密度，F为环空流体速度，Sf为环空截面积，Cpf为流体比热。4。流体在x5时的传热。微量元素向吸附床qt 6的传热。微量元素的能量变化率是流体的截面积，5.4.3吸附剂在吸附床中的传热传质模型的建立，传热传质发生在吸附床中，但传质是以传热为基础的，所以只要建立传热方程，就可以根据平衡吸附容量方程计算出各个地方的吸附容量。吸附床的传热主要是热传导，包括经向热传导和轴向热传导。为了便于建模和分析，选择图中所示的吸附床微量元素进行平衡计算：1。轴向热引入：2。轴向热量导出3。径向热引入4。径向热量导出5。微量元素的能量变化率是吸附床的有效比热。6.总能量平衡方程，5 .4 .4吸附器