D8_3曲面方程(new).ppt

1、,第八章,第三节,曲面及其方程,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,一、曲面方程的概念,F(x,y,z)=0,x,y,z,S,1、已知一曲面作为点的几何轨迹，如何建立该曲面的方程？,空间解析几何关于曲面的两个问题：,F(x,y,z)=0,2、已知一方程，如何确定与方程对应的曲面

2、的形状？,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,例1.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,1、已知一曲面作为点的几何轨迹，如何建立该曲面的方程？,故所求方程为,例2. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,一、曲面方程的概念,例3. 研究方程,解: 配方得,可见此方程表示一个球面,的曲面.,表示怎样,半径为,球心为,2、已知一方程，如何确定与方程对应的曲面的形状？,一、曲面方程的概念,任意一个三元二次方程都可以化简为标准方程形式进而判断其所对应图形的形状。,1、配方

3、2、二次型的化简,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,播放,二、旋转曲面,1.定义,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,母线,轴,观察旋转曲面的形成过程,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的

4、母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫

5、旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,

6、曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,1.定义,观察旋转曲面的形成过程,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,曲线C叫旋转面的母线，直线L叫旋转面的轴.,二、旋转曲面,播放,空间一条曲线C绕一条直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,1.定义,母线,轴,二、旋转曲面,二、旋转曲面,例如，以下曲面都是旋转曲面：,旋转过程中的特征：,讨论：,二、旋转曲面,2.特殊旋转面的方程,1）yOz坐标面上的曲线绕z轴旋转的旋转面方程,f(y，z)=0绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程：,二、旋转曲面,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,2.特殊旋转面的方程,

7、二、旋转曲面,例. 求坐标面 xOz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解: 绕 x 轴旋转所成曲面方程为,绕 z 轴旋转所成曲面方程为,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,二、旋转曲面,二、旋转曲面,这两种曲面都叫做旋转双曲面：,播放,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,母线,准线,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的

8、母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平

9、行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三

10、、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,1.定义,观察柱面的形成过程,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成

11、的曲面称为柱面.,定曲线叫柱面的准线，这族平行线中的每一条直线叫柱面的母线.,三、柱面,播放,1.定义,由平行于某一定方向且与一定曲线相交的一族平行直线组成的曲面称为柱面.,母线,准线,一条直线L沿着一条空间曲线C作平行移动所产生的曲面称为柱面。L在每一个位置都称为母线，C称为准线。,三、柱面,柱面举例:,抛物柱面,平面,三、柱面,2.特殊柱面的方程,1）母线平行于z轴的柱面的方程,双曲柱面,母线 / z轴。,例如,三、柱面,2.特殊柱面的方程,2）母线平行于x轴的柱面的方程,椭圆柱面,母线 / x轴。,例如,三、柱面,2.特殊柱面的方程,3）母线平行于y轴的柱面的方程,椭圆柱面,母线 / y

12、轴。,例如,三、柱面,用一个三元二次方程表示的曲面称为二次曲面。,说明： 1）二次曲面的一般方程为(二次项系数不全为0)： 2）经过坐标系的平移和旋转，二次曲面的一般方程可以转化标准方程的形式。,四、二次曲面,1.定义,椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面； 锥面； 椭圆抛物面、双曲抛物面（马鞍面）； 单叶双曲面、双叶双曲面； 椭球面。,四、二次曲面,2.标准方程（共9种）,椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,2.标准方程（共9种）,四、二次曲面,锥面,2.标准方程（共9种）,四、二次曲面,椭圆抛物面、双曲抛物面（马鞍面）,2.标准方程（共9种）,四、二次曲面,单叶双曲面、双叶双曲面,四、二次曲面,2.标准

13、方程（共9种）,椭球面,四、二次曲面,2.标准方程（共9种）,如何由方程确定出曲面的形状的呢？,四、二次曲面,3.截痕法,旋转抛物面z=x2+y2的图形：,当c0 时，平面z=c与曲面的交线是圆；,平面 x=a 或 y=b与曲面的交线都是抛物线。,当c0 时，平面z=c与曲面不相交。,当c=0 时，平面z=c与曲面只有一个交点(0, 0, 0) 。,四、二次曲面,双曲抛物面z=y2-x2的图形：,平面z=c(c0)与曲面的交线是双曲线；,平面y=b与曲面的交线是抛物线；,平面x=a与曲面的交线也是抛物线。,平面z=0与曲面的交线是两条相交的直线 ；,四、二次曲面,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yOz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,