九年级数学上册 19.7相似三角形的应用举例 教案 北京课改版

1、19.7相似三角形的应用目的：利用相似三角形的性质解决实际问题中考基础知识 通过证明三角形相似 线段成比例备考例题指导例1如图，P是ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形 （1）求证：DBPEPC； （2）当P点在什么位置时，SADPE=SABC，说明理由 分析：（1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有ADPE平行线角相等，命题得证 （2）设=x，则=1-x，ADPEDPAC， EPAB， BDPBAC CPECBA =（）2=（1-x）2，=（）2=x2 =x2+（1-x）2 SADPE=SABC，即= x2+（1-x）2=（转化为含x的方程） x

2、=， = 即P应为BC之中点 例2已知ABC中，ACB=90，过点C作CDAB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式 分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，求出m，n再写出一次函数 抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上） 双直角图形有相似形比例式（方程） ACB=90，CDAB RtBCDRtBAC BC2=BDBA，同理有AC2=ADAB， =m=2n 抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4

3、（m2-12） 由（x1-x2）2192 配方 （x1+x2）2-4x1x2192 64（n-1）2-16（m2-12）192， 4n2-m2-8n+4 又由0得4（n-1）2-4（m2-12）0， 代入上式得n2 由n，n2得n2 n为整数，n=1，2 m=2，4 y=2x+1，或y=4x+2 遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑0备考巩固练习1如图，在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c关于x的一元二次方程x2-2b（a+）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DEAC交BC于E，EFAB，垂足是F （1）求证：ABC是直角三角形；（2）若BF=6，FD

4、=4，CE=CD，求CE的长2某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1 （1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满BMC地带所需的费用 （2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APDBPC且SAPD=SBPC，并说出你的理由3（1）如图1，在梯形ABCD中，ABCD，AB=b，

5、CD=a，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：当=1时，有EF=；当=2时，有EF=；当=3时，有EF=当=k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明； （2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中ABCD，ADAB，AB=310m， DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案 (1) (2)答案:1（1）由x1+x2=x1x2 得2b（a+）=（a+b）2 2ab+c2=a2+b2+2ab ABC是直角三角形 c2

6、=a2+b2 （2）易证EFDEDB，EF2=DFDB=40设CE=x，则CD=x， DE=（x）2-x2=40x=42（1）四边形ABCD是梯形（见图） ADBC， MAD=MCB， MDA=MBC， AMDCMB，=（）2= 种植AMD地带花带160元 =2（m2） SOMB=80（m2） BMC地带的花费为808=640（元） （2）设AMD的高为h1，BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h SAMD=10h2=20 h1=4= h2=8 S梯形ABCD=（AD+BC）h=3012=180 SAMB + SDMC =180-20-80=80（m2） 160+160+8012=1760（元

7、）又：160+640+8010=1600（元）应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金 （3）点P在AD、BC的中垂线上（如图）， 此时，PA=PD，PB=PCAB=DC APBDPC 设APD的高为x，则BPC高为（12-x）， SAPD =10x=5x， SBPC =20（12-x）=10（12-x） 当SAPD =SBPC即5x=10（12-x）=8 当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时，SAPD =SBPC3解：（1）猜想得：EF= 证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H ABCD， AGEDHE， 又EFABCD， CH=EF=GB，DH=EF-a，AG=b-EF， =k，可得EF= （2）在AD上取一点EFAB交BC于点F，设=k，则EF=，DE=， 若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE 梯形AB