等差数列的概念与通项公式(2).ppt

1、等差数列的概念与通项公式2,等差数列定义：,等差数列的通项公式：,复习回顾：,等差数列通项公式的一个变式,梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。,解：,用an表示梯子自上而下各级宽度成的等差数列，,a1=33，a12=110，n=12.,由已知条件有,由通项公式，得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d,解得d=7.,因此,a2= 33+7 a3=40+7 a4=54 a5=61 a6=68 a7=75 a8 = 82 a9=89 a10=96 a11=103.,答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47

2、cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.,例1：,已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？,分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看anan-1(n2)是不是一个与n无关的常数就行了,解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n2) anan-1=(pn+q)-p(n-1)+q =pn+q-(pn-p+q) =p 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p 在通项公式中令n=1，得a1=p+q, 所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,例2：

3、,首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an 2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如：,如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?,由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可得:A-a=b-A,即,反之,若,则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.,总之:,成等差数列.,也就是说:,是a,A,b成等差数列的充要条件.,思考：,在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.,如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.,如:数列:1,3,5,7,9,1

4、1,13,中,等差数列的性质1：,即：,求下列各题中两个数的等差中项。,（1）、100与180,（2）、2与6,练习：,解:（1）100与180的等差中项是140,（2）-2与6的等差中项为2,证明： 设首项为,，则,例3：,在等差数列,中，,若,则,等差数列性质2：,例4：,（1）已知等差数列an中， a3 a15=30,求a9， a7a11,解：,（1）a9是a3和a15的等差中项,（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,（2）3+7=4+6=5+5, a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150,即a5=30,故a2a8 =2

5、a5=60, a7a11 =a3 a15=30, a3a7 =a4 a6=2 a5,练习：,（1）在等差数列an中， a3 a9a15a21=8，求a12 =,（2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=,2,已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，求a8,例5：,解：,3+5=2+6，,则2a2a6 = a2 a3 a5 = a214=15,故a2 = 15+14=1, a6 = 15 2a2 =152（1）=-13,故a8 =2a6a4 =2（-13）（-7）=-19, a3 a5= a2a6,例6 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.,小结：,（