Ch3_1求特征值的幂与反幂法JKSY.ppt

1、第3章 矩阵的特征值与特征向量的计算,3.1 幂法和反幂法,特征向量与特征值相关概念复习 定义: 若数 与非零向量 x 满足 Ax x， 则称 是方阵 A 的特征值， x 是 A 的特征向量. 特征向量的非零 k 倍，仍为特征向量。即, Ax x A(kx) (kx)。 方阵 k 次幂的特征向量：若 Ax x Akx kx . 3.1.1 幂法 幂法是求模最大的特征值及其特征向量的算法.,1. 幂法的迭代过程 A 是 n 阶方阵，其 n 个特征值按模从大到小排序为 | 1| | 2| | 3| | n| . (3.1) 条件: 方阵 A 有 n 个无关的特征向量 x1, x2, , xn. 它

2、们满足 Axk k xk , k 1,2, n . 任意取定非零向量 u0 , 从它出发，做下面的迭代 uk Auk-1, k 1, 2, (3.2) 上过程产生一个向量序列 uk , 由此, 可找到计算 1 和其对应的特征向量 cx1 的方法。 2. 迭代向量的表达式: 迭代产生的 uk 被 A 与 u0 唯一确定 uk Auk-1 A2uk-2 Aku0, 因此, 式(3.2) 中的方法是使用 uk Aku0, 故称其为幂法.,3. 迭代产生的 uk 是 A 的近似特征向量 理由：特征向量 x1, x2, , xn 线性无关，故 u0 可被它们表出，设,uk 1k a1x1. ( Ax1

3、= 1x1),因为,故当 k 充分大时，,由于, uk (1k a1x1 ) , 及 x1 是特征向量, 故 x1 的常数倍 uk 也是特征向量. 即，uk 近似地是对应 1 的特征向量.,4. 迭代 (3.3) 产生的问题 观察 uk 的表达式 可知当 |1| 1 ( 或小于1 ) 时, uk 的模会过大 (或过小).这将造成计算机出现上溢 (或下溢).,5. 改进方法: 单位化处理 在实际计算时，每做一步, 都先对向量 uk 进行 “单位化” 处理。迭代格式改为,具体的迭代过程如下:,一般情况下，若有 ，则,用 uk 表达式, 可有,我们得到迭代公式:,当 k 充分大时，yk 可作为特征向

4、量,当 10 时,当 1 0 时,结论：不论何时, yk 都以特征向量 x1 的非零倍数作为极限值! 当 k 充分大时， yk 可作为对应 1 的特征向量。,求特征向量的算法,求特征向量的算法,6. 特征值 1 的求法 方法1, 在 (3.4) 中使用 2-范数, 令 可把参数 a1 消掉，因为 知,算法1 任取非零向量 u0 ,当 |k -k-1| /k 时，迭代结束，以当前的 k 作为 1 的近似值, 以 yk-1 作为属于 1 的特征向量.,方法2 在(3.4)中使用 -范数，令,其中 ，1 是第 r 个分量, 对应,uk-1 的第 r 个分量是模最大分量！ 由于,算法2,当 |k -k

5、-1| /k 时，迭代结束，以当前的 k 作为 1 的近似值，以 yk-1作为属于 1 的特征向量。,任取非零向量 ,求无穷大范数,单位化,Bate 等式的解释,式 (3.9) 中的k 的表达式解释： 令,当 k 足够大时，yk 中的模最大分量的位置 r 保持定值，原因是yk趋向于一个定向量：,例1 求下矩阵的最大特征值及所属特征向量. 误差为0.0001,解 用幂法公式(3.9)计算. 结果如下表,所求近似解为,精确解为,表3-1 例1 的计算结果.,3.1.2 反幂法,A 是可逆的 n 阶方阵，其 n 个特征值按模从大到小排序为 | 1| | 2| | 3| | n| .,假设 A 有 n

6、 个无关的特征向量 x1, x2, , xn. 它们满足 Axk k xk , k 1,2, n .,目标：计算 A 的按模最小的特征值 n 及其对应的特征向量.,反幂法原理,知, 1/n 是矩阵 A-1 的按模最大的特征值, xn 是 A-1 的属于 1/n 的特征向量. 对 A-1 使用幂法公式 (3.7) 或 (3.9), 求得 1/n 及其特征向量, 进而得到 n .,反幂算法,任取非零向量 u0 ,每迭代一次, 要解一次方程组 Auk = yk-1 . 当 k 足够大时, n 1/k , 用 yk-1 作为属于 n 的特征向量。,使用公式(3.7) ，所得反幂法迭代公式如下,带原点平移的反幂法,求矩阵 A 的某个特征值 . 原理: 若 是矩阵 A 的特征值，则 p是矩阵 A pI 的特征值，其中 I 是单位矩阵；反之，若 p 是矩阵 A pI 的特征值，则 是矩阵 A 的特征值，而其特征向量是相同的。因为,设已知数是矩阵 A 的某个特征值 s 的近似值，并满足,于是，