26连续间断(34).ppt

1、2020/8/12,微积分-函数的连续性,1,上课,2020/8/12,微积分-函数的连续性,2,2.6 函数的连续性,一、变量的改变量(增量),函数y=f (x):,x0 x,P57 例1,(可正可负可为零),变量u：u0u1 ,u,u1u0,xxx0 即,xx0 x,yf (x) f (x0) ,f (x0 x)f (x0),x,y,3,二、连续函数概念,当x0时, 曲线yf (x) 上的动点M(x, f(x)无限趋近于该曲线上的定点M0 (x0 , f(x0) ).,4,1. 函数f (x)在点x0处连续,定义1 函数f (x)在点x0的某邻域内有定义，若,则称f (x)在点x0处连续,

2、 并称x0为f (x)的连续点.,例1 证明函数y=sinx在(-,+)内任意一点处连续.,证 任取x0 (-,+)，则,即y=sinx在x0处连续.,故y=sinx在(-,+)内任意点连续.,同理可证：y=cosx在(-,+)内任意点连续.,ysin(x0 x)sin(x0),5,定义2 函数f (x)在点x0的某邻域内有定义，若,则称f (x)在x0处连续, x0为f (x)的连续点.,例2 证明函数y=ax+b在(-,+)内任意一点处连续.,注：例1 不可用定义2证明.,例3,证,0 = f (0),函数f (x)在x=0处连续.,x =0左右两侧表达式相同，不必用左、右极限.,x0 x

3、x0,y0 f (x)f (x0),定义3(e d 定义)略,2020/8/12,微积分-函数的连续性,6,3.左连续 与 右连续,2. 函数f (x)在(a,b)内连续:,f (x)在(a,b)内每一点连续,由前例,多项式函数,正弦、余弦函数在其定义域R内连续.,连续用极限定义, 极限有“左、右极限”概念, 故有:,定理,连续,左连续,右连续,左端点a处右连续，右端点b处左连续.,4. 函数f (x)在a, b上连续:,f (x)在(a,b)内连续, 且在,几何意义：图形是一条连续不断的曲线。,分段函数在不同表达式的区间分界点处连续性的讨论.,7,例4 讨论函数 的连续性.,思路: 由于多项

4、式函数在任意一点连续, 所以对此分段函数, 主要是讨论在区间分界点处的连续性。,解,函数f (x)在x=0处连续.,函数f (x)在x=1处不连续，但左连续.,f (x)在(-,0), (0,1), (1,+)内连续(都是多项式函数), f (x)的连续区间为(-, 1, (1,+).,求连续区间,2020/8/12,微积分-函数的连续性,8,三、函数的间断点,1.定义,若函数f(x)在点x0处不满足连续的条件, 则称,(1)f (x0)不存在;,f (x)在点x0处不连续(间断), 并称x0为f (x)的间断点.即至少有下列情况之一出现：,第一类：左、右极限存在 相等：可去间断点 不相等：跳

5、跃间断点 第二类：其它,2.间断点分类,2020/8/12,微积分-函数的连续性,9,第一类间断点图示 1 2 3,可 去 间 断 点,跳跃间断点,1).可去间断点,例5 讨论函数 在x = 1处的连续性.,解,上例中,注：可去间断点只要改变或补充定义其函数值, 则可使其变为连续点.,x = 0为函数的可去间断点.,改变定义f (1)=2，,2020/8/12,微积分-函数的连续性,11,2).跳跃间断点,解,第一类间断点特点：,x = 0为函数的跳跃间断点.,函数f (x)在点x0处的左、右极限都存在.,函数 在x = 0,例6 讨论函数 在x = 0处的连续性.,没有定义，故间断。,0,x

6、 = 0为f(x)的可去间断点.,f (0)=0, 则f (x)在x=0连续(即例3).,补充定义,2020/8/12,微积分-函数的连续性,12,例7 讨论函数 在x = 0处的连续性.,解,3).第二类间断点,f (x)在x = 0没有定义，故间断。,x = 0为f(x)的第二类间断点.,这种情况称为振荡间断点.,2020/8/12,微积分-函数的连续性,13,例8 讨论函数 在x = 0处的连续性.,解,(左、右极限至少有一个为无穷大),x = 0为f(x)的第二类间断点.,这种情况称为无穷间断点.,2020/8/12,微积分-函数的连续性,14,1.连续函数的四则运算,例如,四、连续函

7、数的性质, sinx 、cosx在(,)内连续.,tanx 、cotx 、secx 、cscx在其定义域内连续.,2020/8/12,微积分-函数的连续性,15,意义:,1.对连续函数, 极限符号可以与函数符号互换;,例9,解,定理1,2. 复合函数的连续性,2.变量代换(u=(x)的理论依据 .,2020/8/12,微积分-函数的连续性,16,例10,解,同理可得,(证得),2020/8/12,微积分-函数的连续性,17,定理2,例如,注意定理2是定理1的特殊情况.,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,3. 反函数的连续性,y=sin u 在(, )内连续.,2020/8/12,1

8、. 初等函数在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注:,注: 2. 初等函数求极限的方法：代入法.,基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续的.,定理,4. 初等函数的连续性,注: 3. 讨论分段函数的连续性，可利用初等函数的连续性说明各段子区间内函数的连续性，再用连续的充要条件单独讨论分段点的连续性.,(见前例4 解题步骤与格式),2020/8/12,微积分-函数的连续性,19,例11,例12,解,解,2020/8/12,微积分-函数的连续性,20,五、闭区间上连续函数的性质,1. 最值定理：闭区间上的连续函数一定有最大、最小值。,推论(有界性定理)闭

9、区间上的连续函数在该区间上有界.,2020/8/12,微积分-函数的连续性,21,例 y1sinx，,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,在(, )上,在(0, )上,ymax2,ymax1,ymin1;,ymax ymin1,ymin0 ;,2020/8/12,微积分-函数的连续性,22,2. 介值定理：,几何解释:,M,m,连续曲线弧yf (x)与水平直线 yC至少有一个交点(C(m, M),定理(界值定理) 设f (x)在a, b上连续，且f (x)在a, b上的最大、最小值分别为M和m，则对任意C(m, M)，至少,2020/8/12

10、,微积分-函数的连续性,23,几何解释:,连续曲线弧yf (x)的两个端点位于x轴的两侧，则曲线弧与x轴至少有一个交点.,即方程 f (x) 0 在(a, b)内至少存在一个实根.,例13,证,由零点定理,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法求近似根.,则,则,2020/8/12,微积分-函数的连续性,25,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),2020/8/12,微积分-函数的连续性,26,可去型,第一类间断点

11、,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,2020/8/12,微积分-函数的连续性,27,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.,两个定理; 两点意义.,反函数的连续性.,连续函数的和差积商的连续性.,闭区间连续函数性质： 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意定理条件：1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,连续函数性质：,2020/8/12,微积分-函数的连续性,28,思考题,（2）下述命题是否正确？,如果f (x)在a , b上有定义，在(a , b)内连续，且f (a)f (b) 0，那么f (x)在(a , b)内必有零点.,2020/8/12,微积分-函数的连续性,29,解答,且,但反之不成立.,例,但,2020/8/12,微积分-函数的连续性,30,不正确.,例函数,（2）,f (x)在 (0,1) 内连续，,f (0)f (1)2e 0.,但f (x)在 (0, 1)内无零点.,2020/8/12,微积分-函数的连续性,31,作业：,P71 19(