第二章条件概率与独立性.ppt

1、第二章 条件概率与独立性 2.1条件概率、乘法定理 2.2全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立事件、二项概率公式,一、条件概率乘法定理,一. 条件概率乘法公式,1. 条件概率的概念,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些 附加信息(条件)下求事件的概率.,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A )=1/6，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,又如，10件产品中有7件正品

2、，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,A=取到一等品，,B=取到正品,P(A|B),A=取到一等品，,B=取到正品,P(A )=3/10，,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,2. 条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中

3、又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,?,“条件概率”是“概率”吗？,条件概率符合概率定义中的三个条件,对概率所证明的一些结果都适用于条件概率,例1 在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品。现从其中 任取一件为合格品，求它是一等品的概率。,解 设A表示“任取一件为合格品”，B表示“任取一件为 一等品”，,注意 ，则所求概率为,例2 盒中有5个黑球3个白球，连续不放回地从中取两次球 ，每次取一个。若已知第一次取到的是白球，求第二次 取出的是黑球的概率。,解 设A表示“第一次取球取出的是白球”，B表示 “第二次取球取

4、出的是黑球”，所求概率为,由于第一次取球取出的是白球，所以第二次取球时盒中 有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法得,例3 有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类, 两只属乙类。不放回地抽取三极管两次, 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类条件下, 第二次又抽到甲类三极管的概率。 解:记Ai= 第 i 次抽到的是甲类三极管, i=1,2, A1A2= 两次抽到的都是甲类三极管,再由P(A1)=4/6=2/3，得,2. 条件概率的说明,条件概率 P(A|B) 也是概率-原来的事件 B变成了样本空间 （样本空间缩减了）, 其中事件 AB 的概率； 几何上看，AB 的面积在 B

5、面积中所占的比例； 古典概型中，设 B 有 个样本点，AB 有 个，,3. 乘积公式,设 A、BU，P（A） 0,则 (1) P(AB)P(A)P(B|A) 称为事件 A、B 的概率乘法公式。,(2) 上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) (3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),例 4 在10个产品中，有2件次品，不放回的抽取2次产品， 每次取一个，求取到两件产品都是次品的概率。,解 设A表示“第一次取产品取到次品”，B表示 “第二次取产品取到次品”，则,故,例6 一场精彩的足球赛将要举行,

6、5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,则 表示“第i个人未抽到入场券”,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,也就是说，,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,由于,由乘法公式,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此

7、,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,课堂练习,1、1/2 2、1/3,二、全概率公式,二. 全概率公式,.,设 B1,Bn 是 U 的一个划分，且 P(Bi)0，(i1，n)，则对任何事件 AU 有,上式就称为全概率公式。,全概率公式的解释,.,它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下，直接计算P(A)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Bi , 使A伴随着某个Bi 的出现而出现，且每个 P( ABi ) 容易计算。可用所有 P( ABi ) 之和计算 P(A).,例1： 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，

8、已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,B,例2 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,例1.4.5：一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。

9、求该批螺钉中的次品率。 解：设 A=螺钉是次品, B1=螺钉由I号机器生产, B2=螺钉由II号机器生产, B3=螺钉由III号机器生产。 则,三、 贝叶斯公式,三、贝叶斯公式,则B发生条件下 发生的条件概率,由乘法公式和全概率公式可得,该公式称为贝叶斯(Bayes)公式,B是任意一个事件,通常认为 是导致试验结果B的原因，称 为先验概率，若实验产生了结果B,探究它发生的原因，称 条件概率 为后验概率，它反映了试验之后各种原因 发生的可能性大小。,例1 针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性 反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人做这种化验呈阳

10、性反应，则他患这种疾病的概率是多少？,解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则,由全概率公式得,再由贝叶斯公式得,例4，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲 患者。现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好 是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？,解：设C为色盲患者，A为男性，B为女性,四、 事件的独立性,四、事件的独立性1.两事件独立,定义: 设A、B是两事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 则称事件A与B相互独立。 表明事件A 的发生不影响B的发生。 等价于： P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)P(B),例1： 从一副不含大小王的扑克牌中

11、任取一张，记 A= 抽到K , B=抽到黑色的牌。问事件A, B是否独立？,解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, P(B) = 26/52 = 1/2， P(AB) = 2/52 = 1/26 故, P(AB) = P(A)P(B). 这说明事件A, B独立。,思考：互斥和独立之间的联系： 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则 A与B不独立。 P(AB)=0，P(A) 0,P(B) 0, P(AB) P(A)P(B) 其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)0, P(B)0, 则 A与B一定不互斥。,请问：能否在样本空间中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥?,所以，与独

12、立且互斥。 不难发现: (或)与任何事件都独立。,可以,定理: 以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,证明: 仅证A与 B独立。 P(A B)= P(A A B) = P(A) P(AB) = P(A) P(A) P(B) = P(A)1 P(B) = P(A)P(B),概率的性质,A与B独立,2 多个事件相互独立 定义: 设A1，A2，An是n个事件，如果对 任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事

13、件A1，A2，An相互独立。,对于三个事件A, B, C，若 P(AB)= P(A)P(B)，P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 个等式同时成立，称事件A, B, C相互独立。 n个事件相互独立要满足等式的个数为,一般地，设 A1，A2，An 是 n 个事件， 如果对任意 k (1kn), 任意的 1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)， 则称 n 个事件 A1，A2，An 相互独立。,此时,加法公式可以简化为:,3、独立性的概念在计算概率中的应用

14、,对独立事件，许多概率计算可得到简化,例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解 将三人编号为1，2，3，,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1 , 2 , 3,所求为,已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4,=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),1,2,3,例3 验收100件产品方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并知

15、这100件产品恰有4件次品。求该批产品能被接收的概率。,解: 设 A=该批产品被接收=测试出3件正品， Bi=取出3件产品中恰有i件是次品， i = 0,1,2,3。 则,因三次测试相互独立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全概率公式, 得,例4 若干人独立地向一移动目标射击,每人击中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人, 才能以0.99以上的概率击中目标? 解：设至少需要 n 个人才能以0.99以上的概率 击中目标。 令A=目标被击中,Ai =第i人击中目

16、标, i=1,2,n。则A1,A2,An 相互独立。故， 也相互独立。,因 A=A1A2An， 得 P(A)= P(A1A2An),问题化成了求最小的 n, 使1-0.4n 0.99。 解不等式，得,五、 重复独立事件及二项概率公式,五. 贝努利概型,.,我们重复地进行 n 次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同 )。,每次试验成功的概率都是 p ，失败的概率都是 q=1-p 。,称作 n 重贝努利试验，简称贝努利概型。,定理3.5 (二项概率公式) 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，则在 n 重贝努利试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为,例1 一射手对一目标独立射

17、击4次，每次射击的命中率为0.8， 求(1)恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率。,解 因为每次射击是相互独立的，故此问题可看作4重贝努利实验，,(1)设事件 表示“4次射击恰好命中两次”，则所求概率为,(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次”，又 表示 “4次射击中都未命中”，则,故所求概率为,例2 一车间有5台同类型且独立工作的机器，假设在任一 时刻t，每台机器出故障的概率为0.1，问在同一时刻 (1)没有机器出故障的概率是多少？ (2)至多有一台机器出故障的概率是多少？,解 在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的， 故可看做5重贝努力试验，p=0.1,q=0.9.

18、 设 表示“没有机器 出故障”， 表示“有一台机器出故障”，B表示“至多有一 台机器出故障”，则,于是有,例3 某人有一串m把外形相同的钥匙，其中有一把能打开家门， 有一天该人酒醉后回家，下意识的每次从m把钥匙中随便拿一 只去开门，问该人在第k次才打开的概率多大？,解 因为该人每次从m把钥匙中任取一把(试用后不做记号又 放回)，所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰被选中 的概率为 ，易知这是一个贝努利试验。在第k次才把门打 开，意味着前面的 次没有打开，于是由独立性既得,例4 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96，问 需要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率 大于0.999？,解 设需要发射n枚导弹，各枚导弹是否击中敌机是独立的， 可看作n重贝努利试验，p=0.96,q=0.04.,至少有一枚导弹击中敌机的概率为,由题意，要求 ，即 ，则,故至少需要发射3枚导弹才能满足要求。,定理(泊松定理): 对n重伯努利实验,