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文档简介
1、,椭圆及其标准方程,思考1: 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在黑板的同一点处,套上笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是?,圆,思考2: 如把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在黑板的两点处,套上笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?,问题,笔尖滑动画椭圆的过程中 (1)笔尖与两定点距离和有无变化? (2)当两定点固定,对绳长有无要求?,1、椭圆的定义:,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,注意:,1、M是椭圆上任意一点,且|MF1| + |MF2| = 常数;,这个常数
2、记为2a,焦距记为2c,且2a2c(?);,2、如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2.,3、如果2a 2c,则M点的轨迹不存在.(由三角形的性质知),O,X,Y,F1,F2,M,如图所示: F1、F2为两定点,且|F1F2|=2c,求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a(2a2c)的动点M的轨迹方程。,解:以F1F2所在直线为X轴, F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点,,则:|MF1|+ |MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c
3、,0),(c,0),(x,y),两边平方得:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c,即ac,所以a2-c20,令a2-c2=b2,其中b0,代入上式可得:,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得:,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程, 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),O,X,Y,F1,F2,M,(0,-c),(0 , c),椭圆的标准方程的再认识:,(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1,(2)椭圆的标准
4、方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在 哪一条轴上。,椭圆的标准方程,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c,0),F(0,c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a,小 结:,判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上,并指明a2、b2,写出焦点坐标。,答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0),答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5),答:在y 轴。(0,-1)和(0,1),判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。,应用举例
5、,应用举例,a3,0b9,例1、填空: (1)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦,则 F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,F1,F2,C,D,例题讲解,(2)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3,则点P到另一个焦点F2的距离等于_,则 F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)满足a=4,b=1,焦点在X轴上的椭圆的标准方程为_,(2)满足a=4,c= ,焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为_,例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程:,(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0), 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10;,变式:两个焦点的距离等于8,椭圆上的一点P到两焦 点距离的和等于10.,(2)两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2),并且椭圆经过点,变式:椭圆经过两点A ,B,例4:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围。,解:由 4x2+ky2=1,可得,因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,所以,即:0k4,所以k的取值范围为0k4。,三、小 结:,1、椭圆的定义,2、
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