湖南省邵阳市邵东县第一中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）（通用）

1、湖南省邵阳市邵东县第一中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一 选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。)1.等差数列中，则数列的公差为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题已知，则由等差数列可得；。考点：等差数列的性质。2.三角形ABC中，则B等于( )A. 60B. 30或150C. 60或120D. 120【答案】C【解析】【分析】由已知利用正弦定理求得的值，利用大边对大角可求得的范围，即可求解.【详解】由题意，已知，所以由正弦定理可得，又因为，可得，所以或，故选C.【点睛】本题主要考查

2、了正弦定理的应用，其中解答中合理应用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知命题p：xR，x2-x+10命题q：若a2b2，则ab，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判定命题的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定.【详解】命题p：x=0R，使x2-x+10成立 故命题p为真命题； 当a=1，b=-2时，a2b2成立，但ab不成立， 故命题q为假命题， 故命题pq，pq，pq均为假命题； 命题pq为真命题， 故选：B【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档4.若

3、双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.5.下列命题为真命题的个数是（ ），是无

4、理数； 命题“R，”的否定是“xR，13x”；命题“若,则”的逆否命题为真命题； 。A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由中，比如当时，就不成立；中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；中，根据四种命题的关系，即可判定；中，根据导数的运算，即可判定，得到答案.【详解】对于中，比如当时，就不成立，所以不正确；对于中，命题“”的否定是“”，所以正确；中，命题“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于中，根据导数的计算，可得，所以错误；故选B.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的

5、关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）。A. 一个圆上B. 一个椭圆上C. 双曲线的一支上D. 抛物线上【答案】C【解析】【分析】设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解.【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为3依题意得，则，所以点的轨迹是双曲线的一支故选：C【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=

6、x+2y+3z，则x+y+z=（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中， 所以解得所以 故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.8.已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x4y130的距离的最小值为( )A. 2B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点到直线的最小值，即可求解【详解】由约束条件 作出可行域，如图所示，由图可知，当与重合时，点到直线的距离最小为故选：A【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目

7、标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题9.函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是( )。A. B. C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案【详解】依题意，函数，得的解集是，于是有，解得，函数在处取得极小值，即，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.10.设，都为大于零的常数，则的最小值为（ ）。A

8、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于，乘以，然后展开由基本不等式求最值，即可求解【详解】由题意，知，可得，则，所以当且仅当，即时，取等号，故选：B【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意给要求的式子乘以是解决问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题11.如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率【详解】由题意知A，把

9、A代入椭圆(ab0)，得，整理，得，0e1，故选D.【点睛】本题考查了椭圆与圆标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，在上单调递增，上单调递减，又，不等式只有两个整数解，即实数的取值范围是故选C【考点】本题主要考查导数的运用二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设曲线 在点处的切线方程_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，得到函数在处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案【详解】由题意，函数的导数为，可得

10、曲线在点处的切线斜率为，即切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为，即故答案：【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.已知向量与，则的最小值是_.【答案】【解析】【详解】,所以，所以，故当时，的最小值是.考点：向量的模点评：本题考查向量的模的最值，解题的关键是能准确的表示出模的函数，再求解最值.15.=_。【答案】【解析】【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论【详解】由题意，可得.故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的计算公式，以及定积分的几何

11、意义的应用，其中解答中熟记定积分的计算公式，合理使用定积分的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，已知，则线段的中点到准线的距离为_。【答案】【解析】【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，设点坐标为，进而可得直线方程，把点代入可求得点坐标，进而根据抛物线的定义，即可求得答案【详解】由题意，抛物线知，设点坐标为，由直线过焦点，所以直线的方程为，把点代入上式得，解得，所以，所以线段中点到准线的距离为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的关系的应用，其中解答中涉及抛物线的焦点弦的问题时，常常利用抛物线的定义来解决，

12、着重考查了推理与运算能力，属于中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70 分）17.已知数列满足,且（1）求及；(2)设求数列的前n项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由，得到数列是公比为的等比数列，进而可求得和；（2）由（1）知，根据等差数列的定义，得到数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可知，且，则数列是公比为的等比数列， 又由，解得，.（2）由（1）知，又由，且，所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列，所以.【点睛】本题主要考查了等差、等比数的定义，以及等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与

13、运算能力，属于中档题.18.设的内角的对边分别为且.(1)求角(2)若求角及的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理，求得，即可求得.（2）由正弦定理，求得，得到，再由三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意知，即，在中，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，又ba，所以，所以，所以，则.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19.如

14、图所示,在三棱柱中,是边长为4的正方形,，.(l)求证:；(2)求二面角的余弦值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；（2）以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为是边长为4的正方形，所以，又，由线面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分别以AC，AB，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量为，则，取，则，同理得平面的法向量，设二面角的平面角为，则.【点睛】本题考查了直线与平面垂直判定与证明，以及空间角的求解

15、问题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品13千克.（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.【答案】（1）6（2）x=4,46【解析】【分析】（1）由f（5）13代入函

16、数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值【详解】解：（1）因为x5时，y13，所以1013，故a6，（2）由（）可知，该商品每日的销售量y所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而，f（x）10（x6）2+2（x3）（x6）30（x6）（x4）于是，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表： x（3，4）4 （4，6） f（x）+0 f（x） 单调递增极大值46 单调递减由上表可得，x4是函数f（x

17、）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于46答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【点睛】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题21.已知椭圆C: 的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由【答案】（1）；（2）定值1【解析】【分析】（1）由已知求得，又点在椭圆上，代入求得，即可得到椭圆的方程；（2）设，联立方程组，求得，又由直线的斜率之积等于

18、，化简求得，再由弦长公式和面积公式，即可求解.【详解】（1）由已知，即，又点在椭圆上，所以，所以，故椭圆方程为.（2）设，由，得，则，即，且，因为直线的斜率之积等于，所以，即，又到直线MN距离为，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数.(1)若为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；(2)若，当时，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)求得的导数，得到方程的判别式，分和、三种讨论，求得函数的单调性，即可求解； (2)由，当时，只需，故只需证明当时，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)由题意，函数定义域为，则，方程的判别式.()若，即，在的定义域内，故单调递增()若，则或.若，则，.当时，当时，所以单调递增若，单调递增()若 ，即或，则有两个不同