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1、,第六节 二阶常系数齐次线性微分方程,本节要点,一、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构,二、二阶常系数齐次线性微分方程求解方法,一、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构,微分方程,（4.51）,称为二阶常系数齐次线性微分方程. 其中 为常数.,对于方程（4.51）, 我们有如下的解的结构定理:,定理4.1 设 是方程（4.51）的两个解,也是方程（4.51）的解.,则对任意,常数,证 因,是方程（4.51）的解, 即有,及,从而,即,也是方程（4.51）的解.,定理4.1说明 是方程（4.51）的解,并且在解中包括了两个任意常数, 但它并不一定是方程,（4.51）的通解.,什么情况下能得到方程的

2、通解? 下面,的定理4.2回答了这个问题.,定理4.2 设,是方程（4.51）的解,且,则对于任何常数,是方程（4.51）的通解.,（ 为常数）,例1 验证,证 因,的解, 并写出该方程的通解.,所以,同理,所以,又,是二阶齐次线性微分方程,所以,是方程的通解.,二、二阶常系数齐次线性微分方程求解方法,对方程,（4.51）,只需找到该方程的两个解,且满,足 不为常数. 如此即可得到方程（4.51）的通解.,我们看到, 当 为常数时, 指数函数 及其各阶,对函数 求一阶及二阶导数, 得到,将上式代入到（4.51）式, 有,由于 因此,导数都只相差一个常数. 由此我们考虑方程（4.51）是,否具有

3、这种形式的解.,由此说明只要 是（4.52）的根,则函数 就是微分,由 不同取值, 可得到方程（4.51）的三种不同,微分方程（4.51）的解. 因此我们称代数方程（4.52）是,微分方程（4.51）的特征方程. 由一元二次方程的求根,（4.52）,公式, 它的两个根为,形式的通解.,现依次讨论如下:,此时方程（4.52）有两个不同的实根,因而方程（4.51）有两个特解,故方程（4.51）的通解为,且,此时方程（4.52）有两个相同的实根,此时我们得到方程（4.51）的一个解,再代入（4.51）, 有,程的另一个解 并使得 常数.,对 求导得,为此令,为求方,且,即,因 是特征方程（4.52）

4、的二重根, 故,且,于是有 故取,从而得到方程（4.51）的通解为,即得方程（4.51）的另一根,此时方程（4.51）有解,从而将 改写成,该解为复数形式. 为求实数形式的解, 利用欧拉公式,此时方程（4.52）有一对共轭复根,且,利用共轭复数的性质, 得,容易看到 仍然是方程（4.51）的解, 它们不仅仅,是实数解, 而且,的通解,常数, 由此得到方程,综上所述, 求二阶常系数齐次线性微分方程,的通解的步骤如下:,写出微分方程（4.51）的特征方程,求出特征方程的两个根,根据特征方程的两个根的不同形式, 按照下列规则写,出微分方程（4.51）的通解:,若特征方程有两个不同的实根,若特征方程有两个相同的实根,若特征方程有一对共轭复根,则,则,则,例2 求解微分方程,解 特征方程为,方程的两个解为 因而方程的通解为,例3 求解微分方程,解 特征方程为,因而方程有二重根,故方程的通解为,例4 求解微分方程,解 特征方程为,相应的解为一对共轭复根,此时 故原方程的通解为,的通解.,求解初值问题,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,