球面三角.ppt

1、航海学附篇,球面三角,第一章 球面三角,球面三角,主要研究球面上由三个大圆弧相交围成的球面三角形及其性质、解算等问题,为学习航海专业课程提供必要的数学基础。,第一节 球面几何,一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球（sphere）,这一定点称为球心。,过球心与球面相交的直线段称为球直径。,球心与球面上任意一点间的距离称为球半径R。,同球的半径和直径相等。 同理,半径或直径相等的球全等。,二、球面上的圆 任意一平面和球面相截的截痕是圆。,平面通过球心时，所截成的圆称为大圆（great circle）， 它的一段圆周叫

2、大圆弧。,平面不通过球心的圆称为小圆（small circle）， 它的一段圆周叫小圆弧。,推理：在同球或等球中，与球心的距离相等的截面所截的圆也相等，与球心的距离不等的两个截面所截的圆不等，距球心较近的截面所截的圆较大，反之较小。,三、大圆的性质 1大圆的圆心与球心重合。,2 大圆的直径等于球直径，半径等于球半径。 3大圆等分球面和球体。 4同球上的两个大圆平面一定相交，交线是它们的直径，并且两大圆互相平分。,5过球面上不在同一直径两端上的两个点，能作且仅能作一个大圆，却能作无数个小圆。,6过在同一直径两端上的两个点，则能作无数个大圆而不能作小圆。,7小于180的大圆弧（劣弧）是球面上两点间

3、的最短球面距离。 因此，两点间的球面距离应用大圆弧度量。,A,C,B,D,G,四、轴、极、极距、极线 垂直于任意圆面的球直径称为该圆（大圆或小圆）的轴（axis）。,P,P,垂直于同一轴可有数个平行圆，其中只有一个通过球心的是大圆，其余的都是小圆。,轴的两个端点称为极(pole)，故每个圆均有两个极。,O,从极到圆(大圆或小圆)弧上任一点沿大圆弧的球面距离叫极距(polar distance),又叫球面半径。,极距为90的大圆弧又称为该极的极线。,球面上一点到某一大圆弧上任意两点间的球面距离都是90，则这一点就是该大圆的极而这个大圆则是该点的极线。极线必定是大圆弧。,其交点叫球面角的顶点， 两

4、大圆弧称为球面角的边。,五、球面角及其度量,球面上两大圆弧相交构成的角称为球面角(spherical angle)，,球面角的三种度量方法： 1切于顶点大圆弧的切线夹角CPD；,D,C,2顶点的极线被其两边大圆弧所截的弧长AB；,3大圆弧AB 所对的球心角AOB。,六、圆心角相等的小圆弧与大圆弧之比,圆心角相等的小圆弧与大圆弧之比等于COS纬度,圆心角AOBaob,七、两大圆极之间的大圆弧所对的球心角等于该两大圆面的两面角。,90BODAOB 90BOD DOE AOB DOE,第二节 球面三角形,一、球面三角形的定义 在球面上由三个大圆弧围成的三角形称为球面三角形 （spherical tr

5、iangle）。,球面三角形的三个角和三条边称为球面三角形的六要素。 航海上讨论的球面三角形的六要素均大于0，而小于180，又称其为欧拉球面三角形。,二、球面三角形分类,球面三角形分为直角、直边、等腰、等边、初等和任意三角形。 1球面直角三角形和球面直边三角形 至少有一个角为90的三角形称为球面直角三角形。 至少有一个边为90的三角形称为球面直边三角形。,2球面等腰三角形和球面等边三角形 有两边或两角相等的三角形称为球面等腰三角形。 若三边或三角都相等的三角形称为球面等边三角形。,3球面初等三角形 三个边相对其球半径甚小的三角形称为球面小三角形。只有一个角及其对边相对球半径甚小的三角形称为球面

6、窄三角形。两者统称为球面初等三角形,4球面任意三角形 凡不具备上述特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形。,三、球面三角形的关系,1.全等球面三角形 在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形。 全等的条件有下列四种情况： （1）二边及其夹角对应相等； （2）二角及其夹边对应相等； （3）三边对应相等； （4）三角对应相等。,2.相似球面三角形 在半径不同的球面上，边角度数对应相等的三角形。 3.对称球面三角形 4.极线球面三角形 球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形。 内、外,原三角形与其极线三角形有如下关系： （1）原三角形与其极线三角形的关系是相互的。即： 原三角形的顶点是

7、极线三角形对应边的极，极线三角形的顶点是原三角形对应边的极。（证明） （2）原三角形的边与其极线三角形对应的角互补。原三角形的角与其极线三角形对应的边互补。 （证明）,四、球面三角形的性质,1.球面三角形与三面角的关系 球面三角形的角是三面角的三个二面角； 球面三角形的边与所对应的三面角的面角相等。 2.球面三角形的每一边必大于0而小于180 ，三边之和大于0 而小于360 。 3.球面三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。,4.球面三角形的每一角必大于0 而小于180 ，三角和必大于180 而小于540 。 5.球面三角形三角之和超出180 的部分称为球面角盈（或球面剩余），以E表示

8、，即： EAB+C180 6.球面三角形两角之和减去第三角小于180 。 7.球面三角形的外角小于不相邻的两内角的和而大于它们之差。 8.同一球面三角形中对等边的角相等，对等角的边也相等。 9.在任意球面三角形中对大角的边较大，对大边的角也较大。,总结上述性质，可得一个球面三角形的成立条件为：,1. 当给定了球面三角形的三个边时： （1）任一边应大于0，小于180 ； （2）三边之和大于0 ，小于360 ； （3）二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。 2. 当给定了球面三角形的三个角时： （1）任一角应大于0，小于180 ； （2）三角之和大于180 ，小于540 ； （3）二角之和减去第

9、三角小于180 。 3. 若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于0，小于180 的条件，球面三角形都成立。 4. 若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角，则该三角形是否成立，情况比较复杂。,第三节 球面三角形的边角函数关系,一、任意球面三角形 1余弦公式（cosine formula）, 边的余弦公式,记忆口诀： 一边的余弦等于其它两边余弦的乘积，加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。,cos a = cos b cos csin b sin c cosA, 角的余弦公式,记忆口诀：一角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这

10、两角正弦及其夹边余弦的乘积。 cosA-cosBcosCsinBsinCcosa,2正弦公式（sine formula） 记忆口诀：边的正弦与其对角的正弦成比例。 Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC,3、正余弦公式（五联公式） 将cosa=cosbcosc+sinbsinccosA 代入 cosc=cosacosb+sinasinbcosC中，得 cosc=(cosbcosc+sinbsinccosA)cosb+sinasinbcosC 展开并整理，可得 sinacosC=sinbcosc-cosbsinccosA 上式称为边角正余弦公式（或五联公式），表示三个边和两个

11、角的关系。 读成：相邻边角正余弦的乘积等于邻边第三边正余弦之积减去邻边第三边余正弦及其夹角余弦之积。,通过极线三角形原理，前式可改写为： sinAcosc=sinBcosC+cosBsinCcosa 上式称为角边正余弦公式。它表示一个球面三角形三个角和两个边的关系。 可读成：相邻角边正余弦的乘积等于邻角第三角正余弦之积加上邻角第三角余正弦及其夹边余弦之积。 正余弦公式一般不用来求解，而是用以导出其它球面三角形公式。,4余切公式（四联公式） 根据角边正余弦公式 sinBcosa=sinCcosA+cosCsinAcosb 用sinA除等式两边，得 sinBcosa/sinA=sinCcosA/s

12、inA+cosCsinAcosb/sinA sinB/sinA=sinb/sina 所以 sinbcosa/sina=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA 即 ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosb 称为余切公式（或四联公式）,记忆口诀：外边余切内边正弦等于外角余切内角正弦加上内边内角余弦之积。,外边,内边,外角,b,a,c,A,C,B,内角,ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC,它表示在一个球面三角形中相连起来的两个边和两个角的关系。,（1）已知两边一夹角解球面三角形 例1-3-1：在球面三角形中，已知a11831.1，b5020.6，

13、C10040.8求c、A。,解:根据已知条件写出边的余弦公式,利用计算器解算： cosccosacosbsinaisnbcosC c = 115 28.6,外边,内边,外角,内角,ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC,ctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC A= 106 58.6,习题一 1.已知赤道上的长度为200海里，与其圆心角相等的45纬度等纬圈的弧长等于多少？ 2.设某船从赤道上某点起航,沿赤道向东航行60赤道里（1赤道里赤道上1分经度的弧长）后转向沿子午线向北航行3600海里（等于纬度60）,再转向沿等纬圈向西航行60赤道里后转向沿子午线向南航行3600

14、海里（等于纬度60） ，求船舶最后到达的纬度？起航点与到达点相距多少赤道里？,3.已知球面三角形a 12012.3 ，c 10053.4，B 6032.6，求b？，C？4.已知球面三角形 b 7142.6，c 10121.5，A 9512.6，求a？，B？,二、其它球面任意三角形公式 1、纳比尔相似式,若已知两边及其夹角求另外两个角或已知两角及其夹边求另外两个边时，可利用上面四个公式。 求地球上两点的子午线收敛差就需要用到纳比尔相似式。,子午线收敛差是指船舶沿着大圆弧航行时，在起航点时的航向为A1，沿着大圆弧航行到B点时则其航向为A2，航向变动量（A2A1）就是A、B两点的子午线收敛差。子午线

15、收敛差产生的原因是因地面上各点的子午线相交于极点所致。,2、半角公式,式中,上式为半角正弦公式,半角余弦公式、正切公式如下：,三、球面直角三角形,1、球面直角三角形定义 2、球面直角三角形公式 设在球面三角形ABC中，C90，则sinC1，cosC0。将这样的关系代入球面任意三角形基本公式（正弦公式、余弦公式、四联公式），可导出10个球面直角三角形基本公式： sinasinAsinc ,3、球面直角三角形公式的记忆法则,纳比尔法则（又称 大字法则）： 任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相对二要素余弦的乘积。,4、球面直角三角形解法 球面直角三角形的特有性质,球面直角三角形解的判定

16、（1）当所求未知要素的函数是余弦、正切和余切时，可直接根据三角函数值的正或负决定所求未知要素是大于还是小于90。 （2）当所求未知要素的函数是正弦时，可能只有一解，也可能有两解，所以必须选择适合于问题的解。选择解的原则可根据球面直角三角形的特有性质来判定。,四、球面直边三角形,1、球面直边三角形定义 2、球面直边三角形公式 设在球面三角形ABC中，c90，则sinc1，cosc0。将这样的关系代入球面任意三角形基本公式（正弦公式、余弦公式、四联公式），可导出10个球面直边三角形基本公式： sinAsinasinC ,3、球面直边三角形公式的记忆法则,纳比尔法则（又称 大字法则）： 任一要素的正

17、弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相对二要素余弦的乘积，若等式右边为相同要素（均为边或均为角）时冠以负号。,4、球面直边三角形解法 球面直边三角形的特有性质,球面直边三角形解的判定 （1）当所求未知要素的函数是余弦、正切和余切时，可直接根据三角函数值的正或负决定所求未知要素是大于还是小于90。 （2）当所求未知要素的函数是正弦时，可能只有一解，也可能有两解，所以必须选择适合于问题的解。选择解的原则可根据球面直边三角形的特有性质来判定。,五、球面初等三角形,（一）、球面小三角形 虽然三个边甚小，但三个角不会很小，其和接近180，且大于180。 如果不要求过高的精度，在误差的允许范围内，球面小三角

18、形可视为平面三角形而进行近似计算。 在球面几何中已知，一个球面三角形三角之和大于180而小于540。平面三角形三角之和等于180。它们之间的差值（A+B+C180）称为球面角盈E。,式中：S球面三角形的面积； a、b、c分别为三边的边长； R球半径。 根据上式，当地面上的球面小三角形各边长均为15海里时，球面角盈近似为2；当各边长均为60海里时，球面角盈近似为27。 航海上，在视野范围内观测路标定位时，完全可将球面三角形视为平面三角形来对待。 在精度要求较高的大地测量等专业中，忽视球面角盈是不许可的。,（二）、球面窄三角形 ABC为球面窄三角形， 其a边、A角甚小， 显然，该三角形中， bc

19、B Ce （ Ce表示C的外角） C Be （ Be表示B的外角） 所以可以用较简单的近似公式解球面窄三角形。,1、求角A的第一近似公式,2、求b的第一近似公式 直接求b是困难的，只能先求（cb），然后换算出b。,3、求角A的第二近似公式 第一近似值往往不能满足要求，所以需要求第二近似值。,4、求边b的第二近似公式,5、球面窄三角形在航海上的应用 在天文上，观测北极星高度求测者纬度改正量和观测北极星方位求罗经差时，就需要用到球面窄三角形公式。 在研究球面三角形误差时，也要用到球面窄三角形的近似公式。,六、球面三角形的解法,1、已知两角夹边解该三角形 例题： 在球面三角形中， 已知 a5044.0， B 6912.0， C115 55 .4， 求 c。 应用四联公式：边的外余切内正弦等于角的外余切内正弦加上双内余弦之积 ctgcsina=