简单的三角恒等变换

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012年江苏T11. 2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工具性作用，如2012年安徽T16等.归纳知识整合1半角公式(1)用cos 表示sin2，cos2，tan2.sin2；cos2；tan2.(2)用cos 表示sin，cos，tan.sin ；cos ；tan .(3)用sin ，cos 表示tan.tan.探究如何

2、用tan 表示sin 2与cos 2？提示：sin 22sin cos ；cos 2cos2sin2.2形如asin xbcos x的化简asin xbcos xsin(x)，其中tan .自测牛刀小试1(教材习题改编)化简的结果是()Acos 1Bcos 1C.cos 1 Dcos 1解析：选Ccos 1.2.的值为()A.BC1D1解析：选B.3若f(x)2tan x，则f的值为()A B8 C4 D4解析：选Bf(x)2tan x2tan x，f8.4(教材习题改编)函数ycos 4xsin 4x的最小正周期为_解析：ycos 4xsin 4x222cos，故T.答案：5若cos ，是第

3、三象限角，则_.解析：cos ，且是第三象限角，sin ，.答案：三角函数式的化简例1(1)化简：_；(2)已知0x，化简：lglglg(1sin 2x)自主解答(1)原式2cos .(2)原式lg(sin xcos x)lg(sin xcos x)lg(1sin 2x)lglglg 10.答案(1)2cos 1.三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值；(2)尽量使三角函数种数最少；(3)尽量使项数最少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简

4、的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.1化简：.解：原式.三角函数求值例2已知，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值自主解答(1)tan ，3tan210tan 30，解得tan 或tan 3.，1tan 0.tan .(2)tan ，.保持本例条件不变，求的值解：tan . 已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.2已知sin(2)，sin ，且，求sin 的值解：，22.0，0，2，而sin(2)0，22，cos(2).又0且si

5、n ，cos ，cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin .又cos 212sin2，sin2.又，sin .asin xbcos x sin(x)的应用例3(2013西域模拟)已知函数f(x)sin2xsin xcos x，x.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值自主解答(1)令f(x)0，得sin x(sin xcos x)0，所以sin x0或tan x.由sin x0，x，得x；由tan x，x，得x.综上，函数f(x)的零点为或.(2)f(x)(1cos 2x)sin 2xsin.因为x，所以2x.所以当2x，即x时，f(x)的最大值为；当2x

6、，即x时，f(x)的最小值为1.公式asin xbcos xsin(x)的应用及注意事项(1)利用asin xbcos xsin(x)把形如yasin xbcos xk的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的当为特殊角即的值为1或时要熟练掌握对是非特殊角时，只要求会求最值即可3(2013银川模拟)已知函数f(x)sin 2x2sin2x1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x时，求f(x)的值域解：f(x)sin 2x(12sin2x)1sin 2xcos 2x12sin1.(1)函数f

7、(x)的最小正周期T.由正弦函数的性质知，当2k2x2k，即kxk(kZ)时，函数ysin为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)x，2x，sin0,1，f(x)2sin11,3f(x)的值域为1,31个公式辅助角公式可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期yasin bcos sin()其中tan 有|y|.2个方向三角恒等变换的基本方向三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代

8、数形式的变换等3个步骤三角恒等变换的步骤三角恒等变换可以归纳为以下三步：创新交汇三角恒等变换与函数性质的交汇问题1三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题2解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧典例(2012安徽高考)设函数f(x)cossin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有gg(x)，且当x时，g(x)f(x)求g(x)在区间，0上的解析式解(1)f(x)cossin

9、2 xsin 2x，故f(x)的最小正周期为.(2)当x时，g(x)f(x)sin 2x，故当x时，x.由于对任意xR，gg(x)，从而g(x)gsinsin(2x)sin 2x.当x时，x，从而g(x)g(x)sin2(x)sin 2x.综合得g(x)在，0上的解析式为g(x)1本题具有以下创新点(1)命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法(2)考查内容的创新：本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力2解决本题的关键有以下几点(1)

10、准确识别函数g(x)的周期T；(2)根据周期恰当地将区间，0分成和两部分，并正确求出相应的解析式；(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力1设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若nm1cos(AB)，则C的值为_解析：mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin(C)sin C，又cos(AB)cos(C)cos C，故sin C1cos C，即sin Ccos C1，即2sin1，即sin，由于C，故只有C，即C.答案：2(2013江南十校联考)已知函数f(x)sin xcos x.(1)若f(x)2f(x)，求的

11、值；(2)求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值和单调递增区间解：(1)f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.又f(x)2f(x)，sin xcos x2(cos xsin x)，且cos x0，tan x，.(2)由题知F(x)cos2xsin2x12sin xcos x，F(x)cos 2xsin 2x1，即F(x)sin1.当sin1时，F(x)max1.由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，故所求函数F(x)的单调递增区间为(kZ).一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013济南模拟)函数ysin xsin的最小正周期是()A.BC

12、2 D4解析：选Bysin xcos xsin 2x，T.2(2013沈阳四校联考)若，则tan 2等于()A. BC. D解析：选D，tan 2，tan 2.3已知(，0)，tan(3)aloga(a0，且a1)，则cos的值为()A. BC. D解析：选B由题意可知tan(3)，tan .又coscossin ，cos.(，0)，sin .4已知x，cos 2xa，则cos x()A. B C. D 解析：选D依题意得cos2x；又x，因此cos x .5若，则sin cos 的值为()ABC.D.解析：选C由已知三角等式得，整理得sin cos .6设，则的最小值为()A. B.C. D

13、1解析：选D2sin cos .令sin cos t，则tsin 2.，t.令g(t)2t，g(t)在上是减函数，当t时，g(t)min211.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若、是锐角，且sin sin ，cos cos ，则tan()_.解析：sin sin ，cos cos ，两式平方相加得：22cos cos 2sin sin ，即22cos()，cos().、是锐角，且sin sin 0，0.0.sin().tan().答案：8设是第二象限角，tan ，且sincos，则cos_.解析：是第二象限角，可能在第一或第三象限又sincos，为第三象限角，cos0.ta

14、n ，cos ，cos .答案：9(2012江苏高考)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析：因为为锐角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsinsin 2cos cos 2sin .答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10(1)化简；(2)化简2sin 50sin 10(1tan 10).解：(1)原式2cos 2x.(2)原式sin 80cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.11已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数(1)求f(x)及函数yf(x)的最小正周期；(2)

15、当x时，求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的值域解：(1)由题意可知，f(x)cos xsin xsin，所以yf(x)的最小正周期为T2.(2)F(x)cos2xsin2x12sin xcos x1sin 2xcos 2x1sin.x，2x，sin.函数F(x)的值域为0,1 12已知函数f(x)3cos(x)的最小正周期为，且其图象经过点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)f，且g()1，g()，求g()的值解：(1)依题意函数的最小正周期T，解得2，所以f(x)3cos(2x)因为函数f(x)的图象经过点，所以3cos0，得到2k，kZ，即k，kZ.由0得.故函数f

16、(x)的解析式为f(x)3cos.(2)依题意有g(x)3cos3cos x，由g()3cos 1，得cos ，同理g()3cos ，得cos .而，所以sin ，sin ，所以g()3cos()3(cos cos sin sin )3.1求值：(1)sin 10sin 30sin 50sin 70；(2).解：(1)原式.(2)原式.2已知sin(2)3sin ，设tan x，tan y，记yf(x)(1)求f(x)的解析式；(2)若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域解：(1)由sin(2)3sin ，得sin()3sin()，即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin ，tan()2tan ，于是2tan ，即2x，y，即f(x).(2)角是一个三角形的最小内角，0，则0x ，f(x)，故函数f(x)的值域为.3已知sin 和cos 是关于x的方程x22xsin sin20的两个根求证：2cos 2cos 2.证明：因为sin ，cos 是方程x22xsin sin2 0的两根，所以sin cos 2sin ，sin cos sin2.因为(sin cos )212sin cos ，所以(2sin )212sin2，即4sin212sin2，所以2(1cos 2)11cos 2，所以2co