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文档简介

1、第三章 随机变量的数字特征,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系,列定理统称为大数定律.,定理1,存在，,则对于任意的正数,或,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,1.切比雪夫不等式,这两个不等式都叫做切比雪夫不等式.,证：,设 为连续随机变量，,的概率密度为,则,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,类似可证.,所以有,注：,切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系，,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,可用它,又因为,定义,对随机变量序列,若存在,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,2.大数定律,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,定理2,（切比雪夫定理）,

2、3.8 切比雪夫不等式与大数定律,设独立随机变量序列,的数学期望,与方差,并且方差,一致有上界，,则对于任意的正数,有,证：,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,由此得,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,但概率不可能大于,故有,切比雪夫定理说明：,若独立随机变量序列,的数学期望,与方差存在，,且方差一致有上界，,按概率收敛于其数学期望,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,即当 充分大时,推论,设随机变量序列,独立同分,则对于任意的正数,有,即，,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,则事件 在 次,试验中发生的频率,证：,设随机变量,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,于是由切比雪夫定理的推论得,由此可

3、知,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,所以有,伯努利定理说明：,当试验在相同的条件下重复进行很多次时，,随机事,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,概率很小的随机事件在个别试验中是不可能发生的.,说明：,（1）随机事件的概率究竟要多么小，,才能看作实际,上不可能发生呢？,这要根据随机事件的本质来确定.,（2）此原理仅仅适用于个别的或次数极少的试验.,（3）由此原理可得重要结论：,如果随机事件的概率很接近于,则可以认为在,个别试验中这一事件一定发生.,3.小概率事件的实际不可能性原理,例,是否相信该工厂的产品,的次品率,解：,假设该工厂的次品率,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,所以,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,在工业生产中，,小概率事件.,现在小概,率事件在一次试验中发生了.,根据小概率事件的实际,不可能性原理，,不能相信该工厂产品的次品率,1. 切比雪夫不等式：,2. 大数定律及其含义.,3. 小概率事件的实际不可能性原理.,3.8 切比雪夫不等式与大

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