二次函数的图像与性质.2二次函数的图像和性质(1).ppt

1、2.2二次函数的图象和性质（1）,会宁县郭城初中 赵学利,学习目标,1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；,2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，直观地了解它的性质.,温故知新，学前准备,1我们已经学过函数,研究函数问题的一般程序是怎样的？,2一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？,数形结合,直观感受,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,描点,连线,y=x2,(-2,4),(-3,9),(-1,1),(2.4),(1,1),(3,9),y,x,y=x2,o,(0,0),1、你能描述图象的形状吗？与同伴交

2、流。 2、图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3、当x0时呢？ 4、当x取什么值时，y的值最小？ 5图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。,（1）抛物线的开口向上 （2）它是轴对称图形，对称轴是y轴 （3）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0） （4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0 （5）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x 的增大而增大.(左减右增）,抛物线y=x2 的性质,合作交流，探究新知,做一做,(1)二次函数y

3、=-x2的图象是什么形状？,(2)先想一想，然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,描点,连线,y=-x2,观察图象,回答问题,（1)你能描述图象的形状吗?,（2)图象与x轴有交点吗？ 如果有,交点坐标是什么?,（3)当x取什么值时,y的值最大值? 最大值是什么？你是如何知道的？,（4)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.,y=-x2,（5)当x0呢?,（1）抛物线的开口向下 （2）它是轴对称图形，对称轴是y轴 （3）图象与x轴有交点，这

4、个交点也是对称轴与抛物线的 交点，称为抛 物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0） （4）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=0时， y最大=0 （5）在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x 的增大而减小.（左增右减）,合作交流，探究新知,抛物线y= -x2 的性质,它们的图象关于x轴对称。,相同点：,不同点：,联系：,图象都是抛物线；图象都与x轴交与点（0，0）；图象都关于y轴对称。,开口方向不同；函数值随自变量增大的变化趋势不同；最值不同；一个有最高点，一个有最低点。,y=x2和y=-x2是y=ax2当a=1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的,在同一

5、坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象,y=x2,y=-x2,总结规律,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y= -x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,X0时,y随着x的增大而增大.右增,X0时,y随着x的增大而减小.右减,根据图形填表：,解：列表,y=2x2,2,1.5,1,0.5,0,-0.5,-1,-1.5,-2,x,2,2,4.5,4.5,8,8,0,

6、0.5,0.5,例1.画出函数y=2x2的图象,做一做,函数y=2x2的图象是什么形状?它与y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?,x,y,o,y=x2,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,函数y=2x2的图象是什么形状? 它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=x2的图象有什么相同和不同?,答:函数y=2x2的图象是抛物线它的开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标 是（0，0）. 它与y=x2的开口方向,对称轴,顶点坐标是相同的,只是开口大小不同. y=2x2比 y=x2的开口小一些.,越大,开口越小

7、, 越小,开口越大.,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,4. 越大,开口越小, 越小,开口越大.,1.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴

8、是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的 左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 , 当x 0时,y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,变式训练，巩固提高,3在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是（ ） 4点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上，且x1 x20，则y1 y2 .,5，25,y= -x2 , y= -x -2,5设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的函数， 该函数的图象是下列各图形中（ ）,C,6、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m。在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的表达式。,解：设表达式为y=ax2（a0）， 由题可知A（-0.8 ，-2.4）B(0.8 , -2.4) 将x=-0.8 ，y=