3.1.2导数的概念.pptx

1、,第三章导数及其应用,3.1导数的概念及运算,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识自主学习,1.导数与导函数的概念,(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.,f(x0)或,.,知识梳理,1,答案,2.导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .,3.基本初等函数的导数公式,x1,0,cos x,f(x0),答案,sin x,

2、ex,axln a,答案,5. 复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx ，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.,4.导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)；,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),yuux,y对u,u对x,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.() (2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).() (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.() (4)与曲线只有一个公共点的直线

3、一定是曲线的切线.() (5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x.(),思考辨析,答案,f(1)3.,B,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是(),解析答案,1,2,3,4,5,解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减， 说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交， 说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 答案D,1,2,3,4,5,D,答案

4、,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，,因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1， 则点P的坐标为(1,1).,(1,1),解析答案,返回,1,2,3,4,5,题型分类深度剖析,例1求下列函数的导数： (1) y(3x24x)(2x1)； 解y(3x24x)(2x1) 6x33x28x24x6x35x24x， y18x210 x4.,(2) yx2sin x； 解y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.,题型一导数的运算,解析答案,(3)y3xex2xe； 解y(3xex)(2x)e

5、(3x)ex3x(ex)(2x) 3xexln 33xex2xln 2 (ln 31)(3e)x2xln 2.,解析答案,解析答案,(5)yln(2x5).,解令u2x5，yln u，,解析答案,思维升华,思维升华,(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. (2) 复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.,(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0等于() A.e2 B.1 C.ln 2 D.

6、e,故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，,则ln x00，解得x01.,B,跟踪训练1,解析答案,(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于() A.1 B.2 C.2 D.0 解析f(x)4ax32bx， f(x)为奇函数，且f(1)2， f(1)2.,B,解析答案,命题点1已知切点的切线方程问题,A.2xy40 B.2xy0 C.xy30 D.xy10,故该切线方程为y(2)x1，即xy30.,C,题型二导数的几何意义,解析答案,(2)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_.,解析答案,解析y2e2x，曲线在点

7、(0,2)处的切线斜率k2，,切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，,命题点2未知切点的切线方程问题 例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是() A.2xy30 B.2xy30 C.2xy10 D.2xy10,由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)， 即2xy10.,D,解析答案,(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为() A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10,解析答案,解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上， 设切点为(x0，y0). 又f(x)1ln x

8、，,解析答案,解得x01，y00. 切点为(1,0)， f(1)1ln 11. 直线l的方程为yx1， 即xy10.故选B. 答案B,命题点3和切线有关的参数问题,A.1 B.3 C.4 D.2,解析答案,直线l的斜率为kf(1)1. 又f(1)0，切线l的方程为yx1. g(x)xm，,则有x0m1，y0 x01，,于是解得m2.故选D. 答案D,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，,命题点4导数与函数图象的关系 例5如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的(),解析答案,

9、思维升华,解析函数的定义域为0，)， 当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大， 即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的； 当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小， 即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的； 当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0， 即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线. 答案D,思维升华,思维升华,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切

10、点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0). (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.,(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.,A.3xy20 B.4x3y10 C.3xy20或3x4y10 D.3xy20或4x3y10,跟踪训练2,解析答案,解析由f(x)3xcos 2xsin 2x 得f(x)32sin 2x2cos 2x，,由yx3得y3x2， 当P点为切点时，切线的斜率k3a23123. 又ba3，则b1，所以切点P的坐标为(1,1). 故过曲线yx3

11、上的点P的切线方程为y13(x1)， 即3xy20.,解析答案,P(a，b)在曲线yx3上，且a1，b1.,解析答案,综上，满足题意的切线方程为3xy20或3x4y10，故选C.,答案 C,(2)若直线y2xm是曲线yxln x的切线，则实数m的值为_. 解析设切点为(x0，x0ln x0)，,得切线的斜率kln x01， 故切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，,解得x0e，故me.,e,解析答案,返回,解析答案,易错警示系列,典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.,易错分析由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O

12、在曲线yx33x22x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况.,易错警示系列,4.求曲线的切线方程条件审视不准致误,解析答案,易错分析,温馨提醒,解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上. (1)当O(0,0)是切点时， 由y3x26x2，得y|x02， 即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.,依题意44a0，得a1.,4分,解析答案,温馨提醒,(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，,7分,解析答案,温馨提醒,10分,12分,温馨提醒,温馨提醒,对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线

13、上，要对该点是否为切点进行讨论.,返回,思想方法 感悟提高,1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.,方法与技巧,1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导. 2.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过

14、P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于() A.e B.1 C.1 D.e,B,15,解析由f(x)2xf(1)ln x，,f(1)2f(1)1， 则f(1)1.,解析答案,2.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为(),因为切线过点(0,0)，所以ln x01，,C,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,

15、8,9,10,11,12,13,14,15,3.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 016(x)等于() A.sin xcos x B.sin xcos x C.sin xcos x D.sin xcos x,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,f5(x)f4(x)sin xcos xf1(x)， fn(x)是以4为周期的函数， f2 016(x)f4(x)sin xcos x，故选B. 答案B,解析f1(x)sin xcos x

16、， f2(x)f1(x)cos xsin x， f3(x)f2(x)sin xcos x， f4(x)f3(x)cos xsin x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4. (2014课标全国)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a等于() A.0 B.1 C.2 D.3,由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1. 又切线方程为y2x，则有a12，a3.,D,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x

17、3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于(),A.1 B.0 C.2 D.4,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f(3)1，,g(3)13()0.,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A.x4y20 B.x4y20 C.4x2y10 D.4x2y10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因为ex0，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

18、当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，,答案A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析先设切点为M(x0，y0)，,联立可解得x02，y02，,答案9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4x

19、y10，且点P0在第三象限. (1)求P0的坐标； 解由yx3x2， 得y3x21， 由已知令3x214，解之得x1. 当x1时，y0；当x1时，y4. 又点P0在第三象限， 切点P0的坐标为(1，4).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程. 解直线ll1，l1的斜率为4，,l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，,即x4y170.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求f(x)的解析式；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

20、1,12,13,14,15,(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,令yx，得yx2x0， 从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).,故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,

21、12,13,14,15,12.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1,2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为(),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析设P(x0，x1)，x01,2，,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，,2，),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1， 点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，,则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015 log2 016(x1x2x2 015)1. 答案1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.已知