2.1.4 函数的奇偶性

1、情境引入：观察下列图片中物体的特点,考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考:对于上述两个函数，f(x)与f(-x)， g(x)与g(-x)，有什么关系？,对于函数y=f(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个 函数值也是一对相反数.这样的函数是奇函数,（一）奇函数、偶函数的定义,奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x ，都有 且 f(-x)=-f(x).则这个函数叫做奇函数。,偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x ，都有 且 f(-x)=f(x).则这个函数叫做偶函数。,对于函数y=g(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两

2、个 函数值相等.这样的函数是偶函数,考察奇函数y=f（x）的图像，依奇函数的定义可知： 点P（x， f（x） ）与点P（-x，-f（x） ） 都在这个奇函数的图像上。直观上容易发现，点P绕原点O旋转1800 后与点P重合.这说明这两点关于坐标原点对称，所以它的图像关于原点对称；反之亦然.,(二）奇函数、偶函数图像的对称性,如果一个函数是奇函数，则这个 函数的图像是以坐标原点为对称中心 的中心对称图形；反之，如果一个函 数的图像是以坐标原点为对称中心的 中心对称图形，则这个函数为奇函数,考察偶函数y=g（x）的图像，依偶函数的定义可知： 点P（x， g（x） ）与点P（-x，g（-x） ） 都在

3、这个偶函数的图像上。这两点关于y轴对称，所以它的图像关于y轴对称；反之亦然.,如果一个函数是偶函数，则这个 函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数,图象关于y轴对称,f(-x)=f(x),偶函数,性质,图象关于原点对称,f(-x)= - f(x),奇函数,思考,（1）判断函数f(x)=x3+x 的奇偶性.,（2）如图，给出函数 f(x)=x3+x 图像的一部 分，你能根据f(x)的奇 偶性画出它在y轴左边 的图像吗？,因为对定义域内的每一个x，都有 f(-x)=(-x)3+（-x）=-(x3+x)=-f(x),解:对于函

4、数f(x)= x3 +x,其定义域为（-，+）.,所以，函数 f(x)=x3+x为奇函数。,.,.,.,.,.,.,例1 判断下列函数的奇偶性,(2) 定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。,（1）由定义知，若 x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。例如，函数f(x)=x2在（-，+）上是偶函数，但 f(x)=x2在 -1，2上无奇偶性。,函数奇偶性的说明：,(3) 偶函数一定满足f(-x)=f(x),奇函数一定满足 f(-x)=-f(x);偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称。,课堂练习,1.已知f(x

5、)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。,2.判断下列函数的奇偶性：,（偶函数）,（奇函数）,0,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,达标练习,（1）已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10，那么f(2)等于（ ）。 A、-10 ; B、10 ; C、20 ; D、与b、c有关 （2）下面四个命题中，正确的个数是（ ） 奇函数的图像关于原点对称。 偶函数的图像关于y轴对称。 奇函数的图像一定过原点。 偶函数的图像一定与y轴相交。 A、4 ; B、3 ; C、2 ; D、1 （3）如果定义在3-a,5上的函数f(x)为奇函数，那么， a= _ (4)判断函数的奇偶性 ,A,C,8,1 是偶函数，2是奇函数，3、4无奇偶性。,小结,作业: P49 A组1，5题， P52A组9,