2011-2012高等数学(23)矩阵相乘、初等变换及求逆矩阵.ppt

1、第九章 线性代数初步,第三节 矩阵,3、矩阵乘法（P36）,例1、 某厂商2012年第一季度生产甲、乙两种产品的数量如表(1)，生产每单位甲、乙产品所需消耗三种原材A,B,C如表(2)，试求该厂商2012年第一季度所需的各种原材料的耗用量。,解 该厂商第一季度各种原材料的耗用量如表(3),1000.5+1200.6,100 0.4+120 0.5,100 0.3+120 0.5,110 0.5+105 0.6,110 0.4+105 0.5,110 0.3+105 0.5,90 0.5+100 0.6,90 0.4+100 0.5,90 0.3+100 0.5,我们用矩阵 A , B , C

2、分别表示表(1),表(2), 表(3)中的有关数据，则有,矩阵 C 中的数据完全有矩阵A,B 的数据确定，称 C 为矩阵A, B的乘积，记为 C = AB,1000.4+120 0.5,1100.3+105 0.5,定义,设A=(aij)ms ，B=(bij)s n , 则称矩阵 C =(cij)mn 为矩阵 A , B 的乘积，记为 AB (或AB),其中 cij=ai1 b1j+ai2 b2j+ +ais bsj,例2,解,考虑 BA？,矩阵乘法不满足交换律,例3,解,0,0,0,AB=0 但并没有 A=0 或 B=0 的结论,10,-20,5,-10,0,例4,解,虽然 AC=BC ,

3、C0 , 但 A B 即矩阵乘法不存在消去律。,2,2,0,0,2,2,0,0,例5,解,称矩阵 E 为单位矩阵，它有性质,EA=AE=A,可以证明，矩阵的乘法运算满足如下规律,1. (AB)C=A(BC),2. (A+B)C=AC+BC ，C(A+B)=CA+CB,3. k(A+B)=kA+kB,4. (A)B=A( B),矩阵的幂,例6 设 ，计算,解：,-1,4,2,1,-1,-1,-1,2,-4,-3,8,-6,2,-3,3,3,-6,-4,习题9-3 3(1)(4)(5),三、逆矩阵(P43),1 逆矩阵的概念,定义9.12：,若 n 阶方阵 A ，存在一个矩阵 B ，使得 AB =

4、 BA = E ，则称矩阵 B 为矩阵 A 的逆矩阵， 记为 B=A-1,有了这个定义，我们自然提出如下问题：,（1） 是不是所有的 n 阶方阵 都有逆阵？,（2） 若不是，那么什么样的方阵 才有逆阵？,（3）若 有逆阵，那么逆阵是否唯一？,定理9.8：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的,四、初等矩阵,1、初等变换,（1） 互换两行的位置；（计作 ri rj ） （2） 用一个非零数乘某一行的所有元素；（k ri）,定义9.15 矩阵的下列三种变换：变换称为矩阵的初等行变换,（3） 把第i行所有元素的 k 倍加到第j行的对应元素上去；（k ri + rj）,如果对矩阵的列做上述三种变换：变换称为矩阵的初等列变换,解,0,-1,-9,0,-6,定理： 方阵A可逆的充分必要条件是，能用初等变换把A转化成单位矩阵。,3、（P51）求逆矩阵的初等变换法,初等行变换,例8 求矩阵 的逆矩阵。,解：,0,1,-2,-2,1,0,0,2,-2,3,0,1,0,0,2,7,-2,1,0,1,0,5,-1,1,1,0,0,1,所以,4、（P52）用初等变换法求解矩阵方程,同时对矩阵A、B作初等行变换，当把A变换成单位矩阵E时，把矩阵B变成的矩阵就是X。,例9 解矩阵方程,