第十一章课件 趋势预测法-例题参考及作业 2.ppt

1、第十一章 时间序列趋势预测法,第一节 最小二乘法 第二节 直线模型预测法 第三节 多项式曲线模型预测法 第四节 指数曲线模型预测法 第五节 修正指数曲线模型预测法 第六节 成长曲线预测模型,时间序列预测法概念,时间序列(动态数列或时间数列)是指把历史统计资料按时间顺序排列起来得到的一组数据序列。例如，按月份排列的某种商品的销售量；工农业总产值按年度顺序排列起来的数据序列等等，都是时间序列 时间数列是以固定时间间隔（每小时、每日、每周、每月、每季、每年等）为基础的时间顺序的观察值,时间序列预测法概念,时间序列预测法(历史延伸法或趋势外推法)是将预测目标的历史数据按时间的顺序排列成为时间序列，然后

2、分析它随时间变化的发展趋势，外推预测目标的未来值 也就是说，时间序列预测法将影响预测目标的一切因素都由 “ 时间 ” 综合起来加以描述 因此，时间序列预测法主要用于分析影响事物的主要因素比较困难或相关变量资料难以得到的情况，预测时先要进行时间序列的模式分析,时间序列预测法的概念,时间序列预测法通常又分为简单平均法、移动平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节分析法和生命周期法等多种方法，我们主要学习几种常见的时间序列的模式和常用的时间序列预测方法,应用趋势预测法有两个假设前提： （1）决定过去预测目标发展的因素，在很大程度上仍将决定其未来的发展； （2）预测目标发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式

3、变化。,常见的趋势线,简易平均法，是将一定观察期内预测目标的时间序列的各期数据加总后进行简单平均，以其平均数作为预测期的预测值。 此法适用于静态情况的预测。 这类预测方法是预测技术中比较简易的方法。它个仅易懂、计算方便，而且也容易掌握。 常用的简易平均法有算术平均法、加权平均法和几何平均法。,一、算术平均法,算术平均法，就是以观察期数据之和除以求和时使用的数据个数(或资料期数)，求得平均数。,式中：,运用算术平均法求平均数，有两种形式：,（1）以最后一年的每月平均值，或数年的每月平均值，作为次年的每月预测值。 如果通过数年的时间序列显示，观察期资料并无显著的长期升降趋势变动和季节变动时，就可以

4、采用此方法。 (2)以观察期的每月平均值作为预测期对应月份的预测值。 当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化时，如果用上一种方法求得预测值，其精确度难以保证。,例：假设某商品最近四年的每月销售量如表5.1所示，在95%的可靠程度下,预测2008年的每月销售量。,如果以2007年的每月平均值作为2008年的每月预测值； 如果以20042007年的月平均值作为2008年的月预测值。,表5.1 某商品年销售额及平均值 单位：,首先，用下列公式估计出预测标准差。,式中：,然后，计算某种可靠程度要求时的预测区间。,以2007年的月平均值339.2千元作为2008年的每月预测值，标准差为：,在95

5、%的可靠程度下，2008年每月预测区间为339.21.96x17.03，即305.8375.52千元之间。,以四年的每月平均值335.7干元作为2008年的每月预测值，标准差为：,在95的可靠程度下，2008年每月预测值区间为335.7土1.96x2.78，即在330.25341.15千元之间。,可以看出，选择观察期的长短不同，预测值也随之不同。所得预测值和实际销售值之间有差异。如果差异过大就会使预测值失去意义，所以，必须确定合理的误差。,用最小二乘法拟合直线趋势方程,最小平方法，又称最小二乘法。其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，两条性质分别是： 1、各个变量值与平均数的离差之和等于

6、零，用表达式表示即； 2、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小值。 最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与理论值(趋势值)的离差平方和为最小。据此来拟合回归方程或趋势方程。,最小二乘法介绍,这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到回归分析和趋势预测中来。回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。,a , b 估计参数的确定,a , b 估计参数的确定,参见教材p233,直线模型预测法,在时间序列分析中，我们常常利用最小平方法拟合直线趋势方程，直线趋势方程与直线回归方程基本原理相同，只是直线回归方程中的自变量x被时间变量t

7、所取代，方程中的两个待定系数也用同样的方法求得。 如果时间数列的一阶增长量（差分值）大致相等，则可拟合直线趋势方程。,第二节约直线模型预测法,直线预测模型为： 直线预测模型的特点，是一阶差分为一常数：,教材p234公式,直线趋势方程的简捷计算形式,如果时间序列有偶数项，则对称编号方式：，-5，-3，-1，1，3，5， 如果时间序列有奇数项，则对称编号方式：，-2，-1，0，1，2，,例题：已知某商店1991年1998年某一种商品销售量的统计数据如表，试预测1999年该商品销售量。,第一步，分析观察期数据长期变动趋势，画数据点的散布图,根据图，我们可以观察出其长期趋势基本上呈直线趋势，它的预测模

8、型为Y=a+bt第二步，根据已知的y和t来求a和b,a=Y/n=2118/8=264.75 b=tY/t2 =434/168=2.58 第三步，利用预测模型进行预测值的计算 Y=a+bt=264.75+2.58t 1999年的数据序号为t=9则Y1999=264.75+2.589=288,例2 某市20012009年化纤零售量如表所示，试预测2010年化纤零售量。,某市化纤零售量及其一阶差分 单位：万米 解：1、选择预测模型 计算序列的一阶差分，列于表中，从计算结果可以看出，一阶差分大体接近。因此，可配合直线预测模型来预测。 2、建立直线预测模型 根据资料列表计算有关数据。,某市化纤零售量直线

9、预测模型最小平方法计算表,所求直线预测模型为： 3、预测 以 代入预测模型，则可预测2010年化纤零售量为：,直线趋势延伸法的特点,（1）直线趋势预测法仅适用于预测目标时间序列呈现直线长期趋势变动情况。 （2）它对时间序列资料一律同等看待，在拟合中消除了季节、不规则、循环三类变动因素的影响 （3）反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平。 （4）只要未来发展趋势大体上不会发生大起大落的变化，继续遵循直线趋势发展变化的假设，那么选用此法进行中长期预测既简便又有一定的可靠性。,时间序列分析与预测移动平均法,对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数

10、时间数列，以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。 一次移动平均法适用于预测目标的时间序列长期趋势表现为基本平稳状态的情况的预测，它是以一组观察序列数据的平均值作为下一期的预测值的预测法。,（1）定义,奇数项移动平均:,原数列,移动平均,新数列,时间序列分析与预测移动平均法,一般应选择奇数项进行移动平均； 若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。,（2）移动项数（时距）的确定,时间序列分析与预测移动平均法,分解长期趋势的目的之一，是为了对序列的未来趋势发展做出预测。但由于移动平均值本身不能将趋势线延长进行外推预测，因而只适合对水平序列做一期的趋势外推预测，即以本期

11、移动平均值 ，作为下期趋势预测值，公式为：,（3）移动平均值用于水平预测,Yt+1 下期预测值,Mt -第t期一次移动平均值,N-期数,一次移动平均预测,【例1】某公司2003年2010年某种产品产量如下表所示：,一次移动平均预测,一次移动平均预测,分别以时距长度N=3和N=5计算的各期预测值如下表所示：,（二）二次移动平均法 简单移动平均法比较适合预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动的较平稳的情况。如果目标发展趋势存在趋势变化，简单移动平均法就会产生预测偏差和滞后，为了解决这个问题，在简单移动平均的基础上再作趋势移动平均，以求得平滑系数来解决问题，也就是进行二次移动平均。,公式：,一次移动

12、平均公式,二次移动平均公式,模型 二次移动平均法是以最近实际值的一次移动平均值为起点，以二次移动平均值估计趋势变化的斜率，建立预测模型，即：,式中：at-预测直线的截距 bt-预测直线的斜率 n-每次移动平均的长度 t-项数 T-距最近实际值的项数,例如：某商店19902001年销售额如下，请预测2002年、2003年、2004年、2005年、2006年的销售额。(n=4),取t=12 n=4 at=a12=2M12 (1) -M12 (2) =2765.75-703.375=828.125 bt=b12=2/(n-1) (M12 (1) - M12 (2) ) =2/(4-1) (765.7

13、5-7.3.375)=41.58 建立预测模型：Yt+T=at+btT Yt+1=828.125+41.581=869.705 Yt+2 =828.125+41.582=911.285 Yt+3=828.125+41.583=952.865 Yt+4=828.125+41.584=994.445,时间序列指数平滑预测法,指数平滑法是移动平均法的发展，是一种特殊的加权移动平均法。基本原理是根据确定的平滑系数，以本期实际值和本期预测值确定下一期的预测值的方法。适用于预测呈长期趋势变动和季节变动的事物。它具有连续运用、不需保存历史数据、计算方便、更新预测模型简易等优点，所以是一种常用的市场预测方法。

14、实际应用中有一次指数平滑法和多次指数平滑法。在此介绍一次指数平滑和二次指数平滑法。,一、一次指数平滑法,1、一次指数平滑法是指以预测目标的本期实际值和本期预测值为基数，分别给二者以不同的权数，求出指数平滑值，作为确定的预测值。适用于预测目标时间序列波动无明显增加、减少的长期趋势的场合。,2、公式：Yt+1=St(1)=Yt+(1-)St-1(1) 3、值的选取 从公式中可以看出平滑系数的大小直接影响预测效果。平滑系数的选择可遵循如下原则： （1）时间序列虽有不规则起伏变动，但整个长期发展趋势变化平稳，则应取小一点（0.050.2） （2）时间序列变化呈阶梯式或按固定速度上升或下降时，取较大值比

15、如0.30.6，使近期信息对指数平滑起重要作用。 （3）时间序列有缓慢的变化趋向，取0.20.4。,（4）资料缺乏时，可以选取不同的值模拟计算，选取误差小的值 4、初始值的确定 从指数平滑公式不难看出，要计算指数平滑值，首先必须确定一个初始值S0(1),一般情况下可取时间序列的第一个数据或前三个数据的平均值作为初始值。,某企业要进行食盐销售量预测，现在有最近连续30个月的历史资料试用一次指数平滑法预测以后月份的销售量。,由此时间序列数据发现食盐销售量有变化，但基本上在2530吨之间波动，没有长期增长趋势，适合用一次指数平滑法预测。选择=0.1， =0.3， =0.5三个不同的值 =0.3时，取

16、第一个数据作为初始值 S0(1)=26.7 S1(1)=Yt+(1-)S0(1)=0.326.7+(1-0.3)26.7=26.7 S2(1)=0.329.5+(1-0.3) 26.7=27.5 S29(1)=0.331.2+0.730.1=30.4 S30(1)=0.325.4+0.730.4=28.9 相应的第31个月的预测值为28.9 吨,例题： 某商店9月份的销售额为142万元，9月份的预测值为148万元，试利用一次指数平滑法预测该商店10月份的销售额。取=0.3。 S10=Yt-1+(1-)St-1 =0.3142+(1-0.3)148 =146.2 (万元),二、二次指数平滑法,由

17、于一次指数平滑法在处理由线性趋势的时间序列时也可能产生滞后偏差，特别是对有明显上升或下降趋势的时间序列，为弥补此缺陷，需要再一次平滑的基础上，再作一次指数平滑，然后确定预测值。 1、二次指数平滑公式： St(2)= St(1)+(1-)St-1(2),2、预测模型是：,例题：某商店19902001年销售额如下，请运用指数平滑法预测2002年、2003年、2004年、2005年、2006年的销售额。（ 0.9）,初始值分别为： S1(1)=(440+481+513)/3=478.0 S1(2)=(478.0+480.7+509.8)=489.5,t=12系数分别为： at=a12=2S12(1)

18、-S12(2)=2821-816.9=825.1 bt=b12=/(1-) (St(1)-St(2)=0.9/(1-0.9) (821-816.9)=36.9 得预测方程 Yt+T=at+btT=825.1+36.9T Y13=Y12+1=a12+b121=825.1+36.91=862 Y14=Y12+2=a12+b122=825.1+36.92=898.9 Y15=Y12+3=a12+b123=825.1+36.93=935.8 Y16=Y12+4=a12+b124=825.1+36.94=927.7 Y17=Y12+5=a12+b125=825.1+36.95=1009.6,三、指数平滑

19、预测模型的选择,（1）平稳移动趋势的指数平滑预测模型 Yt+1=St(1) 含义是如果时间序列的发展变化趋势是平稳的，则未来各期的预测值是最近一期的一次平滑值 （2）线性趋势的指数平滑预测模型为 Yt+T=at+btT,直线趋势方程拟合法与平滑技术法的比较,运用最小二乘法建立的直线趋势方程拟合预测模型与运用平滑技术（二次移动平均法或二次指数平滑法）建立的直线预测模型比较，相同点为：都遵循事物发展连续原则；都适用于目标时间序列资料呈现为单位时间增（减）量大体相同的长期趋势变动的预测。,二者的区别为：,1、预测模型的参数计算方法不同 2、预测模型中的时间变量的取值不同 3、模型适应市场的灵活性不同

20、 4、随时间推进，建模参数计算的简便性不同,三点法,在时间序列资料中选取三个代表点；根据三个点的坐标值建立由三个二次曲线方程组成的联立方程组；求解方程组得到三个参数值。,用三点法确定待定系数,由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：,其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即,Step1.选点,当时间序列的项数N为奇数时，并且N15时，在时间序列的首尾两端及正中各取五项，分别求出加权平均数，权数根据时期的远近，分别取1、2、3、4、5，以加重近期信息在平均数中的比重。 当时间序列的项数为奇数时，并且9N15时，在时间序列的首尾两端及正中各取三项，权数根据时期的远近，分别取1、2、

21、3，分别求出三个加权平均数。 当时间序列的项数为偶数时，可去掉第一项，余下按项数为奇数时处理。,Step2.求加权平均数,设由远及近的三点坐标分别为： 则五项加权平均时：,三点坐标分别为：,同理，三项加权平均时：,三点坐标分别为：,将三点坐标值代入二次曲线预测模型，得：,Step3.建立方程组,求解参数,例： 某公司20002008年某产品销售额如表所示。试预测2009年的销售额。,某产品销售额及其差分 单位：万元,解：1、选择预测模型。计算序列的一阶、二阶差分，列于表中，从计算结果可看出，二阶差分是比较平稳的。因此，可配合二次抛物线预测模型来预测。 2、建立二次抛物线预测模型。列表计算有关数

22、据。,根据上表资料计算得： 代入公式得：,二次抛物线预测模型为： 将各年的t值代入预测模型，可得各年的追溯预测值,曲线趋势方程拟合预测法,由于直线趋势方程拟合预测法仅适用于预测目标时间序列呈现直线长期趋势变动情况，它对时间序列资料一律同等看待，在拟合中消除了季节、不规则、循环三类变动因素的影响，反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平。只要未来发展趋势大体上不会发生大起大落的变化，继续遵循直线趋势发展变化的假设，那么选用此法进行中长期预测即简便又有一定的可靠性。,曲线趋势方程拟合预测法,但是很多市场经济活动的发展趋势，用直线趋势方程拟合预测法来预测是不够准确的。因为很多市场经济活动是受多种因素影

23、响的，会表现出不同形状的曲线变动趋势。因此就需要采用曲线趋势变动线，然后加以延伸，进行趋势拟合以求得预测值。,（一）指数曲线趋势预测法,（1）含义：是指预测目标观测值数据的变化发展趋势符合指数增长规律，建立该指数曲线方程，并据此作为预测的数学模型推测事件的未来发展趋势的方法。 （2）使用条件：适用于预测目标时间序列逐期增减率大体相同，即按几乎同一比例增长的趋势发展。 （3）预测模型为：yt=abt 取对数lgyt=lga+tlgb (教材公式11.3.2) 令Yt=lgyt A=lga B=lgb 则Yt=A+Bt,就可以采用直线趋势预测法进行预测,示例：某百货公司1996年2004年的销售量统计数据如下表，试用指数曲线方程预测2005年的销售量。,第一，选择预测模型（1）描散点图，根据散点图分布来选用模型,根据图，我们可以初步确定选择指数成长模型进行预测yt=abt,计算数字特征,由增长特征法公式： 教材公式11.4.4 (270-165)/270=0.388 (450-270)/450=0.4 (740-450)/740=0.39 (1220-740)/1220=0.39 (2010-1220)/2010=0.393 (3120-2010)/3120=0.356,由上表可知，观察值的比率大体相等,符合指数曲