一般力系的简化

1、平面一般力系,一般力系,1 平面力对点之矩,2 力偶、平面力偶系,3 力的平移定理,4 平面一般力系的简化,5 平面一般力系的平衡,6 物体系统的平衡,7 滑动摩擦,力对点之矩是度量力使刚体绕此点转动效应的物理量,平面上力对点之矩的概念,1 平面力对点之矩,力矩中心 （矩心）、力矩平面,力矩的正负号规定,力矩的单位,MO(F)=Fd=2OAB,力矩的性质： 1 当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩心（即力臂d=0）时，力对矩心的力矩等于零； 2 当力F沿其作用线滑动时，并不改变力对指定点的矩； 3 同一个力对不同点的矩一般不同。,MO(F)=Fd=2OAB, 力偶: 大小相等,方向相反,不

2、共线的两个力所组成的力系。, 力偶的定义,2 力偶及其性质平面力偶系的合成与平衡,力偶臂：d,力偶作用面：力偶中两力作用线所决定的平面,一 力偶及力偶矩矢,d,(F, F ), 力 偶 实 例, 力偶的要素,1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F.d； 力偶的单位：Nm或kNm 2 在力偶作用面内，力偶的转向； 3力偶作用面的方位。,力偶的正负号表示转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。, 力偶矩与力对点之矩,力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩,而与矩心无关,MO(F) +MO(F) = -Fx + F(x +d) = +Fd = M(F,F),由此可见,同一平面内两力偶等效的充分与必要条

3、件是:两力偶之矩相等。,M(F,F) = +Fd,力对点的矩与力偶矩的关系： 相同点：量纲相同 不同点：力对点的矩可随矩心的位置改变而 改变，但一个力偶的矩是常量 联 系：力偶中的两个力对任一点的之矩之 和是常量，等于力偶矩,性质一：力偶不能与一个力等效，即力偶不能合成为一个合力，因此力偶也就不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡；力偶中的两力在任一轴上投影的代数和为零，但力偶不是平衡力系。力偶是最简单的力系,二、力 偶 的 性 质,性质二：当力偶矩保持不变时，力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用,性质三：只要保持力偶矩不变，可同时相应地改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不影响力

4、偶对刚体的作用效应,此性质称为力偶等效性质, 平面力偶系的合成与平衡,平面力偶系 力偶的作用效应 平面力偶系可以合成为一个力偶（合力偶） 此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代数和, 平面力偶系的平衡,平面力偶系平衡的充分必要条件为:,例1 已知： 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。试画出AB和BDC杆的受力图；求A、C处的约束力。,受力分析:,结论： 1 AB杆为二力杆; 2 BDC杆的、B 二处分别受有一 个方向虽然未知、 但可以判断出的力。,3 力的平移定理,平 面 一 般 力 系,O1,O2,?问题的产生,空间一般力系 力与力偶，如何合成,?,定理：作用在刚体上某点

5、的力 F ，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。,M=MB(F ),M=Fd,F= F(大小相等，方向相同),可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶；反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。,如：,设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它。,4 平面一般力系向作用面内一点简化,(F1， F2 ， ， Fn）,(M1， M2 ， ， Mn）,平面汇交力系,平面力偶系,主矢量,主矩,（对

6、点的）,简化中心,综上所述，平面一般力系向其作用面内一点简化，一般可得一个力和一个力偶，它们对刚体的作用与原力系等效。此力作用于简化中心，其大小和方向决定于力系的主矢量；此力偶的力偶矩则决定于力系对简化中心的主矩。,主矢为,与简化中心无关 (力系第一不变量),主矩为,与简化中心有关,(一般),主矢唯一；主矢是自由矢,主矩与矩心位置有关;主矩是定位矢,主矢量和主矩的计算,主矢量FR的计算,主矩O的计算,二、简化结果分析,1 FR= 0, MO0,原力系合成为一个力。作用于点O 的力FR就是 原力系的合力。,2 FR0, MO= 0,原力系合成为力偶。,这时力系主矩MO 与简化中心位置无关。,3

7、FR 0, MO0,原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力,这时力系可进一步合成为一个力。,即：平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。这称为平面一般力系的合力矩定理,例1 槽形杆用螺钉固定于点O，如图示。在杆端点A作用一力P，其大小P=400N，试求力P对点O之矩。,4 FR= 0, MO=0,原力系平衡。,综上所述，平面一般力系简化的最终结果为： 1 一个力； 2 一个力偶； 3 平衡。,例2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结

8、果，以及该力系的最终合成结果。,解：取坐标系Oxy。 1 求向O点简化结果： (1)求主矢F Rx：,(2) 求主矩：,2 求合成结果：合成为一个合力FR， FR的大小、方向与FR相同。其作用线与O点的垂直距离为：,例,FR,FR,MO,x,y,一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？,思考题1,在什么情况下，一平面力系向一点 简化所得的主矢为零(主矩为零)？,思考题2,(判断) 设平面一般力系向平面内一点简化得到一个合力，如果另选适当的简化中心，则可简化为一力偶。（ ）, 固定端约束,作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来分析另一种常见约束-固定端约束的反

9、力。,遮雨蓬,卡盘,简图：,固定端约束反力有三个分量：两个正交反力，一个反力偶, 沿直线分布的线荷载合力,集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，道路给轮子的力等。,几种分布荷载,(1)体分布荷载，如，构件的自重等； (2)面分布荷载，风压力、雪压力等； (3)线分布荷载，如沿构件的轴线分布。,荷载单位,合力大小,合力作用线位置,合力大小=载荷集度图的面积,根据合力之矩定理,5 平面一般力系的平衡条件和平衡方程, 基本形式的平衡方程,平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在力系平面内任一轴上投影的代数和为零，同时各力对力系平面内

10、任一点的力矩的代数和等于零。,一 矩 式,投影方程,力矩方程,平面一般力系平衡方程的其它形式,二矩式,三矩式,适用条件：A、B两 矩心的连线不能与所 选投影轴（x轴）垂直,适用条件：A、B 、 C三矩心不能共线,注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有3个，对一个物体来讲,只能解三个未知量,不得多列！,FR,FR,方向不定,方向不定,力系平衡, 平面平行力系的平衡方程,设各力与 y 轴平行,或者:,注意： AB与各Fi不平行。,两个独立方程！,图示F1，F2，F3-FN为一平面力系，若力系平衡，则下列各组平衡方程中互相不独立的是( )。,A B C D,B, 一般力系平衡方

11、程应用举例,求解单个物体平衡问题的一般步骤为： 1 选取研究对象，取分离体，画受力图； 2 根据受力图中力系的特点，灵活地选取投影轴和矩心； 3 列平衡方程解出未知量。,1 力偶与投影方程无关； 2 (力矩方程中)力偶的正负与矩心无关； 3 固定端约束有三个约束反力(偶)。,注意：,例1 外伸梁所图所示，已知F80N，M50N.m，q20N/m ，l1m。试求A、B处的支座反力。,解：取AB梁为研究对象，受力如图所示。建立图示坐标系，由平面力系的平衡方程。,该式不再独立，可作为校核,例2 已知支架受力如图，其中Q=-Q，求A、B处的约束力。,解：取梁AB为分离体，画受力图。,列平衡方程:,(方

12、向如图),若取B点为矩心，则有：,该式不再独立，可作为校核,例3起重机的配重问题,已知轨距b3m，机重G500kN，e1.5m ，最大起重量P250kN，l =10m, a =6m。求起重机满载与空载时均不翻倒的配重Q值。,解: (1)满载情况 P =250kN;,取起重机为分离体画受力图，,满载不翻倒限制条件,平面平行力系, 2个独立方程，以B点为矩心：,(2)空载情况：P =0,空载不翻倒限制条件,以A点为矩心：,例4 已知：a,b,c,P,Q。求：A、B处约束反力。,解：(1)明确对象，取分离体，画受力图； (2)列写适当平衡方程,由已知求未知。,A,B,例5：图示的钢筋混凝土配水槽，底

13、宽1m，高0.8m ，壁及底厚10cm水深为0.5cm。求1m长度上支座的约束反力。槽的单位体积重量( = 24.5k/m)。,0.5m,0.8m,1m,A,B,C,解:取水槽为研究对象画受力图,W1 = 24.5110.1 = 2.45 kN,W2 = 24.510.70.1 = 1.715 kN,F = 0.5(19.80.5) 10.5 = 1.225 kN,W = (19.8)10.9 0.5 = 4.41 kN,0.5m,0.8m,1m,A,B,C,利用平衡方程求解：,FAx + F = 0,FAx = -1.225 kN, Fiy = 0,FAy -W -W1 -W2 = 0,FA

14、y = 8.575 kN,A(Fi) = 0,-A -1/6F-0.45W -0.5 W1 -0.95 W2 = 0,A = -5.043 kN.m,Fix = 0,6 物体系统的平衡 静定与静不定问题,物体系统是指由几个物体通过约束组成的系统。,(1) 整体系统平衡，局部必然平衡。因此，可取整体或部分系统(有关联的若干物体)或单个物体为研究对象; (2) 分清内力和外力；对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开; 力偶不要“搬家”; (3) 灵活选取研究对象、投影轴、矩心。尽量减少未知量，最好是一个方程解一个未知量，简捷求解; (4) 如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡

15、，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。,求解物体系统的平衡问题，注意以下几点：,主要部分：能独立承受荷载并维持平衡的部分； 次要部分：必须依赖主要部分才能承受荷载并维持平衡的部分。,有主次之分的物体系统,无主次之分的物体系统,运动机构系统,例7 组合梁由AC和CE用铰链联接而成，结构尺寸和载荷如图所示，已知F5kN，q4kN/m，M10kNm，试求梁的支座反力。,有主次之分的物体系统,荷载传递规律：作用在主要部分上的荷载,不传递给次要部分,也不传递给与它无关的其它主要部分；而作用在次要部分上的荷载，一定要传递给与它相关的部分。,解题顺序：,先次后主,解 先取梁的CE段为研究对象，受力如

16、图所示， 列平衡方程,求出C、E处的反力。,然后，取梁的AC段为研究对象，受力如图所示，列平衡方程,例 组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN.m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。,解：1.取CE段为研究对象。受力分析如图。,联立求解： FE=2.5 kN， FC=2.5 kN,由平衡方程,联立解之：FA= 15 kN， MA= 2.5 kN,MA,F2,l/4,I,A,F,C,H,l/8,l/8,FA,再取AC段为研究对象，受力分析如图,例 已知：a、P

17、、Q。求A、B 的约束反力。,解：(1)考虑整体,(2)考虑左半部,代入得：,无主次 之分的 物系,例8 图示四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求机构平衡时P、Q 的关系。,对销钉B：,对销钉A：,解法一,分别考虑A、B销钉的平衡：,解法二,考虑整体DABC的平衡：,E,关于刚体系统平衡问题的求解思路,1 求解思路,(1)根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立平衡方程个数。,(2)若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡

18、方程个数相等。,(3)对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性），求出全部待求未知力。,2 独立的平衡方程个数,注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。,3 注意利用力矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方程中尽量少出现未知力。,求解所用到的全部方程必须是相互独立的。, 静定与静不定,未知数数目: m，静力学平衡方程数: n m = n, 未知数可由平衡方程解出 静定问题 m n, 未知数由平衡方程及变形条件解出 静不定问题 m n, 机构问题，主动力平衡条件 静定问题,m=n 静定 (a),mn 静不定 (b),mn (c),注：(a)