3.4生活中的优化问题举例

1、1.4 生活中的优化问题举例,复习：如何用导数来求函数的最值？,一般地，若函数y=f (x)在a，b上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：,（1）求y=f (x)在a，b内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。,例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 ,上、下两边各空2dm左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最

2、小？,问题1:面积问题,解：设版心的高为xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 求导数，得,于是宽为 当 时， 0.,因此，x=16是S(x)函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。,令 ，解得 舍去）。,练：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱自的容积最大？最大容积是多少？,问题2:利润问题饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵

3、些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,例如:,例2 某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.,（）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利 润最大？ （）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最 小？,例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造

4、商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,-,+,减函数,增函数,-1.07p,解：每个瓶的容积为:,每瓶饮料的利润：,解：设每瓶饮料的利润为y，则,-,+,减函数,增函数,f (r)在(0，6上只有一个极值点 由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值,-1.07p,例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,解：设每瓶饮料的利润为

5、y，则,当r(0，2)时，,而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值,答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.,例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,当r(2，6时，,表面积,设半径为R,则高为h,表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题,问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?,解决数学模型,解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往