空间群的不可约表示与能带结构.ppt

1、空间群的不可约表示与能带结构,空间群的不可约表示与能带结构,能带论是以单电子近似为基础的理论。在此理论中晶体中电子的波函数具有布洛赫波函数的形式，这些本征函数以波矢K来描述，相应的能量本征值也是由K来标志的。也就是说能带的结构与k空间中点的位置有关。,一、引言,晶体的单电子薛定谔方程群是晶体空间群，简称空间群。该空间群中所有满足在k空间中平移不变的操作组成的群称为波矢群。而在k空间内点位置的不同与波矢群的对称性表现为不同的不可约表示之间的相容性。,本文就是通过在K空间内讨论不同位置波矢群的不可约表示之间的相容性与能量本征值的变化之间的关系来讨论单电子近似下的能级分裂形成的能带结构,二、基本概念

2、,（一）转动平移算符 与广义空间群,转动平移算符,广义空间群：所有的 集合组成的群， 称为广义空间群,（二）晶体空间群G与晶格平移群T,晶体空间群G：,晶体内部的结构可以概括为一些相同的点子在空间有规律的排列，因而晶体具有平移对称性和转动对称性。在广义空间群内所有满足晶体的这两种对称性的元所组成的群就称为晶体空间群，常常简称为空间群。,晶格平移群T：在空间群内所有具有空间平移对称 性的元所构成的群。,注：1、晶格平移群是阿贝尔群。 2、晶格平移群T是空间群的不变子群。因而 空间群可以按平移群陪集展开，即：,（三）平移群在倒格子空间的不可约表示,倒格子空间：以以下的基矢定义的空间称 为倒格子空间

3、,这其实就是空间频率空间（也就是K空间）的子空间,倒格矢空间中的矢量称为倒格矢，即为：,其中， 是正负整数及零,前面我们曾经证明过平移算符的表达式：,由量子力学的算符化规则，有：,平移操作T在倒格子空间内的表示为：,我们知道，当k与k=k+ Gn时， 是等价的：,（四）第一布里渊区,所以，,我们可以定义这样一个波矢区域： 称为第一布里渊区。这样，只需在第一布里渊区内选取波矢k即可通过平移群的全部不可约表示。,（五）布洛赫波函数,由平移群在倒格子空间的不可约表示，可以很容易求得周期场中电子的波函数形式为：,布洛赫函数使我们不必求薛定谔方程就能了解在周期场中运动电子的波函数所具有的性质。,三、相容

4、性与能带结构,单电子的哈密顿算符,及本征函数,代入单电子薛定谔方程,得到,满足的方程为：,令,，上式可以简化为,这就是电子波函数中周期函数u所满足的赝薛定谔方程，与薛定谔方程相比，差别就是括号中的有效势能项有关。而得对称性是由波失k群来决定的，所以，有效势能的对称性要比晶格势场V (r)的对称性低。这样，本征函数的对称性必然由波波矢群来描述的。,在不同k处波函数对称性之间的相互联系可以用相容性来描述。能量E (k)的简并度也以不同点波失群不可约表示的维数而变，这种变化也不是任意的，也是由相容性来确定。为了简单起见，以简单立方结构为例来加以说明。,简单立方的对称性群是,群。,K=0的波函数依,群

5、的十个不可约表示（记为,现在考虑,的情况，,例如沿 轴方向的变化。这,）变换。,在,的48个群元中，仅有,以下的8个群元使得不变：,在微扰的作用下Oh群的对称性被部分破坏形成了C4V的可约表示D,对应C4V的特征标表（下表）这个可约表示可以约化为C4V的不可约表示的直和,此时能级发生了分裂：,例如，对于15（T1u）分裂为一个A1和一个E表示： 15=15,于是，我们就说，在k0（沿kx轴时）时，波函数依C4v群的不可约表示1及5（E）变换的对称性与在k=0处波函数属Oh群的T15（T1u）的对称性是相容的，即15=1 5.这就表明在点处属T15的能级与1与5的能级有相同值，但当k沿轴变化，而

6、逐渐靠近X点时，能带就会分裂为具有1与5对称性（如图），但究竟是哪一支的能量高则要通过直接定量计算才能知道.,于是，我们就说，在k0（沿kx轴时）时，波函数依C4v群的不可约表示1及5（E）变换的对称性与在k=0处波函数属Oh群的T15（T1u）的对称性是相容的，即15=1 5.这就表明在点处属T15的能级与1与5的能级有相同值，但当k沿轴变化，而逐渐靠近X点时，能带就会分裂为具有1与5对称性（如图），但究竟是哪一支的能量高则要通过直接定量计算才能知道.,如果将一个对称性较低的微扰项加到对称性较高的哈密顿算符中，那么，原来的波函数就作为有微扰时的零级近似的波函数，并作为包含了微扰项的新哈密顿群的不可约表示的基函数。可见，如果小群表示的基函数是包在大群的表示的基函数之内，那么，也是相容的。,当k沿着轴变化时，波矢群为C2v ，这个群有四个一维表示；当k沿着轴变化时，波矢群C3V，有两个一维表示和一个二维表示。根据这些群的不可约表示的特征标（参看下表）求得约化系数，就可以得到相应的相容性关系，下表列出了这些关系：,如果将布里渊区各对称点的E（k）及各对称点之间的相容性关系求出来，利用E（k）的连续性，