2.3解三角形的实际应用举例.ppt

1、2.3解三角形的实际应用举例,正弦定理,余弦定理,（R为三角形的外接圆半径）,三角形边与角的关系：,2、 大角对大边，小角对小边 。,利用余弦定理判定三角形形状,三角形的面积公式,复习. 下列解ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？,第4小题A变更为A=150o呢？_,余弦定理先求出A,或先求出B,正弦定理先求出b,正弦定理先求出B(60o或120o),无解,余弦定理先求出a,斜三角形的解法,用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。,正弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理,由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两

2、边。,用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。,用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。,一边和两角 (ASA或AAS),两边和夹角(SAS),三边(SSS),两边和其中一 边的对角(SSA),1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等,2实际应用中的常用术语,术语 名称,仰角 与 俯角,方位角,术语意义,在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角,从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角

3、的范围是(0，360),图形表示,术语名称,术语意义,图形表示,方向角,正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度,例：(1)北偏东m：,(2)南偏西n：,术语名称,术语意义,图形表示,坡角,坡度,坡面与水平面的夹角,坡面的垂直高度h和水平宽度l的比,例1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量 这两点之间的距离。（备用工具：皮尺、测角仪）,测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC51o， ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).,分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计

4、算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.,你能根据所学知识设计一种测量方案吗?,应用一：测量距离问题,解：根据正弦定理，得,答：A、B两点间的距离约为65.7米。,变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？,例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,D,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点

5、分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.,计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得,A,B,C,D,30,45,30,60,分析： 在ACD中求DA 在BCD中求DB,变式练习：,训练,某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇

6、的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由,1、分析：理解题意，画出示意图,2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中,3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。,4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。,解斜三角形应用题的一般步骤是：,解决有关三角形应用性问题的思路、 步骤和方法,实际问题,抽象概括 画示意图,建立数学模型,推理 演算,数学模型的解,实际问题 的 解,检验作答,还原说明,练习、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆B

7、C的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,练习自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1

8、.89m。,应用二：测量高度问题,（1）底部不可以到达,练习,用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方的上,分别测得气球的仰角是和,已知BD=a,测角仪的高度是b，求气球的高度。,答案 ：,（2）底部可以到达,应用二：测量高度问题,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路

9、南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,解：在ABC中，A=15, C=25-15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,应用三：测量角度问题,答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行113.15 n mile.,应用四：有关三角形计算,例8: 如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88m, 127m, 这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）,解：设a=68m , b=88m, c=