7.1解方程与数系的扩充

1、解：设其中一个数是x，则另一个数为10-x 则x(10-x) =40 化简得：x2-10 x+40=0 即 （x-5）2=15 该方程无实数解 那么遇到了什么问题呢？ 他想：负数为什么不能开方？ 那么他是怎么解决的呢？,情景引入,五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题， 将10分成两个部分，使它们的乘积等于40.,数系的扩充和复数的概念,申 光 娅,引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定：,虚数单位,（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立,为了解决负数开方问题，,即：将实数a和数i相加记为: a+i； 把实数b与数i相乘记作: bi； 将它们的和记作: a+

2、bi (a,bR),复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示,1.复数：,把形如 a+bi (a,bR)的数叫复数,i 叫做 虚数单位(imaginary unit),一.复数的有关概念,用z表示复数, 即z = a + bi (a,bR) 叫做复数的代数形式,2.复数的代数形式：,规定: 0i=0,0+bi=bi,3.两个复数相等,有两个复数Z1=a+bi (a,bR)和Z2=c+di(c,dR),注意,1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系,2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小,4.复数的分类：,虚数,b0,纯虚数,a=0且b0,实数

3、0,a=b=0,实数,b=0,1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部,抢答:,2. 判断下列命题的真假： （1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数 （2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数 （3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数,例1：实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解： （1）当 ，即 时，复数z是实数,（2）当 ，即 时，复数z是虚数,（3）当 ，且 ，即 时，复数z 是纯虚数,精讲提升,分析在本题是复数的标准形式下，即zabi(a，bR)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可,点评 判断一个含有参数的复数在

4、什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m30，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的 对于复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它这是解复数问题的重要思路之一,例2 求适合下列方程的 的值： （1） （2）,解（1）由复数相等的定义，得方程组,解得,精讲提升,点评 (1)复数相等的条件，是求复数值及在复数集内解方程的重要依据 (2)根据复数相等的定义可知，在ac，bd中，只要有一个不成立

5、，那么abicdi.所以，一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，例如，1i和35i不能比较大小,(1)已知x2y22xyi2i，求实数x、y的值 (2)已知复数zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求k的值,变式2：,附表一：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：,小结 ： 在理解复数的有关概念时应注意： （1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求； （3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。,自然数的产生 远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1，2，3，4，5自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地。 古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马