第三章《数系的扩充与复数的引入 阶段复习课》课件

1、阶段复习课 第 三 章,【核心解读】 1.复数的分类 对复数zabi(a，bR)， 当b0时，z为实数；当b0时，z为虚数； 当a0，b0时，z为纯虚数 2.复数中的两种思想 (1)函数思想：求复数模的最值时，需转化为关于复数 z=x+yi(x，yR)的实部x或虚部y的二次函数讨论求最值. (2)方程思想：由复数的代数形式利用复数相等的条件得到 方程(组)，解决问题.,3.复数的运算技巧 (1)化复为实:设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化，是解决复数问题的常用方法 (2)类比实数：在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化 4

2、.复数中的两种对应关系 (1)复数与复平面上点的对应. (2)复数与以坐标原点为起点的向量的对应. 利用对应点可以把复数问题转化为几何问题、向量问题.,主题一 复数的概念 【典例1】(1)(2013陕西高考)设z是复数，则下列命题中的 假命题是( ) A.若z20，则z是实数 B.若z20，则z是虚数 C.若z是虚数，则z20 D.若z是纯虚数，则z20 (2)复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时， zR.z为虚数.,【解题指南】(1)设出复数的代数形式，复数问题转化为 实数问题求解，进行验证，从而得出正确的答案. (2)利用复数分类求x.,【自主解答】(1)选C.设

3、z=a+bi，a，bR z2=a2b2+2abi. 对选项A:若z20，则b=0 z为实数，所以z为实数正确. 对选项B:若z20，则a=0，且b0z为纯虚数，所以z为虚数正确. 对选项C:若z为纯虚数，则a=0，且b0z20，所以z20错误. 对选项D:若z为纯虚数，则a=0，且b0z20，所以z20正确.,(2)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以 由(ii)得x4，经验证满足(i)(iii)式所以当x4时，zR. 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以,由(i)得 由(ii)得x4，由(iii)得x3 所以当 且x4时，z为虚数.,【延伸探究】若把题(2)结论改为z为

4、纯虚数，则x的范围 如何？ 【解析】因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0， 且虚部不为0， 所以 此方程组无解 所以复数z不可能是纯虚数,【方法技巧】复数的有关概念 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如 实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的 前提 (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的 依据 提醒：求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.,【补偿训练】(2013上海高考)设mR，m2+m2+(m21)i 是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=_. 【解析】m2+m2+(m21)i是纯虚数 答案：-2,主题二 复数的四则运算 【典例2】(

5、1)已知i是虚数单位，复数(1+bi)(2+i)是纯虚数， 则实数b的值为( ) A.-2 B.- C. D.2 (2)已知z是纯虚数， 是实数，那么z等于( ) A.2i B.i C.-i D.-2i,【自主解答】(1)选D.因复数(1+bi)(2+i)2-b+(2b+1)i是 纯虚数，所以2-b=0，且2b+10，得b=2. (2)选D.设纯虚数z=bi(bR)，代入 由于其为实数，所以b=-2.所以z=-2i.,【方法技巧】复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算， 注意把i看作一个字母(i2=-1)，除法运算注意应用共轭的性质 z 为实数.,【拓展延伸】复数运算的考查点 复数的四则运算是

6、本章的重点，复数的乘法、除法是高考的热点，考题呈现以下特点： (1)复数的乘除运算. (2)与复数的有关概念、复数的几何意义相结合. (3)与两复数相等的充要条件结合,【补偿训练】(2014大同高二检测)复数 =( ) 【解析】选C.依题意得 选C.,主题三 共轭复数、复数的模 【典例3】(1)(2013新课标全国卷) =( ) (2)(2013新课标全国卷)若复数z满足(34i)z=|4+3i|， 则z的虚部为( ) 【解题指南】(1)先化简 然后计算模. (2)首先设z=a+bi(a，bR)，利用复数的运算法则进行化简， 然后利用复数相等列出关于a，b的方程组，求出b的值.,【自主解答】(

7、1)选C. 所以 选C. (2)选D.设z=a+bi(a，bR)，则(34i)z=(34i)(a+bi)=5， 化简得3a+4b+(3b4a)i=5，所以 解得 即 所以z的虚部为,【方法技巧】化复为实 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题,【补偿训练】把复数z的共轭复数记作 已知 (1+2i)+ =4+3i，则 【解析】(1+2i)+ =4+3i 3+i，从而有z=3i， 所以 答案：,主题四 复数的几何意义 【典例4】(1)在复平面内，复数z=i(1+2i)，对应的点位于 ( ) A.第一象限

8、B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)设复数z满足|z|=5，且(3+4i)z在复平面上对应的点在 第二、四象限的角平分线上，求复数z,【自主解答】(1)选B.因为z=i(1+2i)=i+2i2=-2+i，所以复数 z所对应的点为(-2，1)，故选B. (2)设复数z=x+yi(x，yR).又|z|=5，所以x2+y2=25. 因为(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=3x4y+(4x+3y)i在复平面上对应 的点在第二、四象限的角平分线上，所以它的实部与虚部互为 相反数，3x4y+(4x+3y)=0 y=7x， 由 所以,【方法技巧】数形结合 复数的几何意义充分体现了数形结合这

9、一重要的数学思想方法 (1)复数的几何表示法：即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解 (2)复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变,【补偿训练】(2014兰州高二检测)复数m(3+i)-(2+i) (mR，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】选B.因为m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i，设复数 m(3

10、+i)-(2+i)(mR，i为虚数单位)在复平面内对应的点M的 坐标为(x，y)，则 消去m得：x-3y-1=0，因为直线x-3y-1=0经过第一、三、四 象限，所以，复数m(3+i)-(2+i)(mR，i为虚数单位)在复 平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.,【强化训练】 1.(2014青岛高二检测)关于复数 下列说法中 正确的是( ) A.在复平面内复数z对应的点在第一象限 B.复数z的共轭复数 =1-i C.若复数z1=z+b(bR)为纯虚数，则b=1 D.设a，b为复数z的实部和虚部，则点(a，b)在以原点为圆心， 半径为1的圆上,【解析】选C.由题可知 对应的点为 (-1，1)

11、，在第二象限，故A错； =-1-i，故B错；若z+b(bR) 为纯虚数，则b=1，故C正确；(a，b)为(-1，1)，在以原点为圆 心，半径为 的圆上，故D错.,2.(2014江西高考)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位)，则|z|=( ) A.1 B.2 C. D. 【解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算. 【解析】选C.,3.(2014湖南高考)满足 (i为虚数单位)的复数z=( ) 【解题指南】先解关于z的方程，再用复数的除法法则进行运算. 【解析】选B.因为 所以z+i=zi，z=,4.(2013广东高考)若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内， z对应的点的

12、坐标是( ) A. (2，4) B.(2，-4) C. (4，-2) D.(4，2) 【解题指南】本题考查复数四则运算，既可以将z作为未知数 解出来，也可以利用i的乘方的性质，在等式两端乘以因式i. 【解析】选C. 解方程iz=2+4i，z= =42i，z对应点的 坐标是(4，2).,【一题多解】在iz=2+4i两端乘以因式i可得(i)iz= (i)(2+4i)，z=42i，z对应点的坐标是(4，2).,5.(2014北京高考)若(x+i)i=-1+2i(xR)，则x=_. 【解题指南】展开后利用复数相等列式求解. 【解析】由已知得-1+xi=-1+2i ，所以x=2. 答案：2,6设(1+i)sin -(1+icos )对应的点在直线x+y+1=0上， 则tan 的值为_. 【解析】由题意，得sin 1sin cos 10， 所以tan 答案：,7.实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(52i)m+615i 是： (1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在第三象限.(5)对应点在直线x+y+5=0上.(6)共轭复数的虚部为12. 【解析】z=(1+i)m2+(52i)m+615i =(m