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文档简介
1、第57讲坐标系考纲要求考情分析命题趋势1.理解坐标系的作用2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义2017全国卷,222017全国卷,222016全国卷,232016北京卷,11极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程分值:510分1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面
2、直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换2极坐标系(1)相关概念极坐标系:如图所示,在平面内取一个_定点_O,点O叫做极点,自极点O引一条_射线_Ox,Ox叫做极轴;再选定一个_长度单位_、一个_角度单位_(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系极坐标:一般地,没有特殊说明时,我们认为0,可取任意实数点与极坐标的关系:一般地,极坐标(,)与_(,2k)(kZ)_表示同一个点,特别地,极点O的坐标为_(0,)(R)_,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有_无数_种表示如果规定0,
3、00),M的极坐标为(1,)(10),由题设知|OP|,|OM|1.由|OM|OP|16,得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B,).由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1求双曲线C:x21经过:变换后所得曲线C的焦点坐标解析设曲线C上任意一点P(x,y),将代入x21,得1,化简得1,即1为曲线C的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(5,0),F2(5,0)2已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2,22cos2
4、.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解析(1)由2知24,所以x2y24.因为22cos2,所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆直角坐标方程相减,得过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1,即sin.3设过原点O的直线与圆(x1)2y21的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线解析圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ,设点P的极坐标为(1,1),点M的极坐标为(,),点M为线段OP的中点,12,1,将12,1代入圆的极坐标方程,得c
5、os .点M轨迹的极坐标方程为cos ,它表示圆心为点,半径为的圆4(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos sin )0,M为l3与C的交点,求M的极径解析(1)消去参数t得l1的普通方程为yk(x2);消去参数m得l2的普通方程为y(x2)设P(x,y),由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02,)
6、联立得cos sin 2(cos sin )故tan ,从而cos2,sin2.代入2(cos2sin2)4,得25,所以交点M的极径为.错因分析:忽略变量的取值范围,导致错误【例1】 求极坐标方程所对应的直角坐标方程解析由(sin 0),得(cos 1),cos 2(cos 1),(*)x2,化简得y24x4,当cos 1时,(*)式不成立;当cos 1时,由(*)式知1,xcos 1.综上可知,y24x4(x1)即为所求【跟踪训练1】 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0)在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:4cos .(1)
7、说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan 0 2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos28sin cos 1a20,由tan 2,可得16cos28sin cos 0,从而1a20,解得a1(舍去)或a1.a1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上所以a1.课时达标第
8、57讲解密考纲高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程,常以解答题的形式出现1求椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程解析由得将代入y21,得y21,即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.2在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为cosa,且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系解析(1)由点A在直线l上,得cosa,则a,故直线l的方程可化为sin cos 2
9、,得直线l的直角坐标方程为xy20.(2)消去参数,得圆C的普通方程为(x1)2y21,圆心C(1,0)到直线l的距离d1,所以直线l与圆C相交3已知曲线C1的极坐标方程为6cos ,曲线C2的极坐标方程为(R),曲线C1,C2相交于A,B两点(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)求弦AB的长度解析(1)曲线C2:(R)表示直线yx,曲线C1:6cos ,即26cos ,所以x2y26x,即(x3)2y29.(2)圆心(3,0)到直线的距离d,r3,弦长AB23.弦AB的长度为3.4在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为sin 2,点M是C1上任意一点,点P在射线OM上
10、,且|OP|OM|4,记点P的轨迹为C2,求曲线C2的极坐标方程解析设 P(1,),M(2,),由|OP|OM|4,得124,即2.M是C1上任意一点,2sin 2,即sin 2,12sin .曲线C2的极坐标方程为2sin .5在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为2,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;(2)设Q为曲线C1上一动点,求点Q到直线l距离的最小值解析(1)根据 2x2y2,xcos ,ysin ,可得C1的直角坐标方程为x22y22,直线l的直角坐标方程为xy4.(2)设Q(cos ,sin ),则点Q到直线l的距离为d,当且仅当2k,即2k(kZ)时取等号点Q到直线l距离的最小值为.6(2018四川绵阳诊断考试)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是 (为参数)以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:,l2:,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B
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