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1、第七章 微分方程,第七章 微分方程,7.1 微分方程的基本概念,一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、微分方程的解,7.1 微分方程的基本概念,一、问题的提出,7.1 微分方程的基本概念,根据导数的几何意义, 可知所求曲线,应满足方程,且满足,7.1 微分方程的基本概念,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例如,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,7.1 微分方程的基本概念,未知函数是一元函数的方程为,常微分方程;,未知函数是多元函数的方程为,偏微分方程.,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数

2、的阶数称之.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,7.1 微分方程的基本概念,例3 指出下列微分方程的阶数.,方程 (1) 是二阶常微分方程,方程 (2) 是一阶常微分方程.,解,7.1 微分方程的基本概念,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为,微分方程的解.,三、微分方程的解,则称函数,为微分方程,在区间I上的解.,7.1 微分方程的基本概念,微分方程的解的分类,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,通解也称为一般解. 通解不一定包含方程的全部解.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,7.1 微分方

3、程的基本概念,一阶:,二阶:,初值问题(柯西问题) : 求微分方程满足初始条件的解的问题.,7.1 微分方程的基本概念,根据导数的几何意义, 可知所求曲线,应满足方程,且满足,求解例2,原问题可表为初值问题,7.1 微分方程的基本概念,所求曲线方程为,函数即为上面初值问题的特解,解,7.1 微分方程的基本概念,所求特解为,7.1 微分方程的基本概念,7.1 微分方程的基本概念,一阶微分方程的通解的几何意义是以任意常数C为参数的曲线族.,其中每一条曲线都叫做微分方程的积分曲线.,是过定点的积分曲线;,一阶,二阶,是过定点且在定点的切线的斜率为定值,几何意义,几何意义,的积分曲线.,7.1 微分方程的基本概念,例5 已知积分曲线族为,求其相应的微分方程,由通解的定义知，所对应的微分方程应是,消去,从而得到微分方程.,分析,二阶的,通过求导数可以把任意常数,两边对,求导, 得,上式两边再对,求导, 得,解,7.1 微分方程的基本概念,有,将,代入,得，,即,为所求方程.,内容小结,7.1 微分方程的基本概念,微分方程,微分方程的阶,微分方程的解,通解,初始条件,特解,初值问题,积分曲线,微分方程的基本概念,思考练习,7.1 微分方程的基本概念,是非题,微分方程的通解是否包含它所有的解?,思考练习,7.1 微分方程的基本

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